On a : z(z^(n-1)+z^(n-2)+z^(n-3)+⋯+z+1)=z^n+z^(n-1)+z^(n-2)+⋯+z^2+z
             1(z^(n-1)+z^(n-2)+z^(n-3)+⋯+z+1)=z^(n-1)+z^(n-2)+z^(n-3)+⋯+z+1
En soustrayant membre à membre, on a :
          (z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)+z^(n-3)+⋯+z+1)=z^n-1
- Si a≠0 quelconque :
On remplace z par z/a dans l’égalité ci-dessus :
(z/a-1)(z^(n-1)/a^(n-1) +z^(n-2)/a^(n-2) +z^(n-3)/a^(n-3) +⋯+z/a+1)=z^n/a^n -1
Soit en multipliant chaque membre par a^n :
(z-a)(z^(n-1)+az^(n-2)+a^2 z^(n-3)+⋯+a^(n-2) z+a^(n-1) )=z^n-a^n
Il existe donc un polynôme Q(z)=z^(n-1)+az^(n-2)+a^2 z^(n-3)+⋯+a^(n-2) z+a^(n-1) de degré n-1, tel que P(z)=(z-a)Q(z).