A -SITUATION D’APPRENTISSAGE
Au cours d’une séance de travaux pratiques, les élèves d’une classe de première scientifique découvrent le dispositif ci-dessous.
Ce dispositif est une plaque triangulaire ABC de masse négligeable. On suspend à chacun de ses sommets des solides de masse (mA = 2g) ; (mB = 5g) et (mC = 3g).
Les élèves veulent déterminer en quel point G, accrocher le fil pour que la plaque reste en équilibre.
L’un des élèves affirme que le point G cherché doit vérifier la relation : 
, mais n’arrive pas à justifier son affirmation. Ils décident de s’organiser pour déterminer la position exacte de G.
B- RESUME DE COURS
I. Barycentre de deux points pondérés :
1. Point pondéré
Définition
Soit A est un point du plan et a un réel non nul, on appelle point pondéré, le couple (A, a ).
Exemple : les couples (A, 2 ) ; (B,−5 ). Sont des points pondérés
2. Propriété et Définition
A et B sont deux points du plan, a et b sont deux nombres réels tels que : a + b ≠ 0.
Il existe un point G et un seul tel que:
Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b).
Notation
Le barycentre G de deux points pondérés (A, a) et (B, b) se note :
G = bar {(A, a) ; (B, b)}
Exercice de fixation
Soient A, B et G trois points du plan tels que :
A partir de cette égalité vectorielle, détermine les points pondérés, pour lesquels G est le barycentre.
Solution :
. Donc G est le barycentre des points pondérés (A, 2)
et (B, 3). On note G = bar {(A, 2); (B, 3)}
a. Conséquence:
b. Théorème : Le barycentre de deux points A et B appartient à la droite (AB)
Exercice de fixation
Soient A,B et K trois points du plan tels que : 
Justifie que K appartient à la droite (AB).
Solution :
On a :
Remarque
• Si les coefficients sont de même signe, alors le barycentre G∈ [AB]
• Si les coefficients sont de signes contraires, alors le barycentre G∈ (AB)∖[AB]
• Si les coefficients sont égaux, alors le barycentre G est le milieu de [AB]
3. Propriétés
a. Homogénéité du barycentre
Propriété
Soit k un nombre réel non nul et deux points pondérés (A, a) et (B, b).
G est barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b) équivaut à G est barycentre des points pondérés
(A, ka) et (B, kb).
Exercice de fixation
On donne G = bar {(A,2) ;(B,7)}
Détermine le nombre réel a tel que G=bar{(A,a) ;(B,21)}
Solution
On a G = bar {(A,2) ;(B,7)}. Comme 21 = 3 × 7, alors a = 2 × 7 = 14.
Donc G=bar{(A,14) ;(B,21)
b. Isobarycentre :
Définition :
Le barycentre des points pondérés (A, α) et (B, α) où α ≠ 0 est appelé l’isobarycentre des points A
et B, c’est le milieu de[AB].
Exemple : G=bar {(A,3) ;(B,3)} équivaut à G est l’isobarycentre des points A et B
G est le milieu du segment [AB].
c. Conservation du barycentre par projection
Propriété
Le projeté du barycentre de deux points pondérés est le barycentre des projetés de ces points affectés
des mêmes coefficients.
Exercice de fixation
Soit G = bar {(A, a) ; (B, b)} et P une projection tel que : P(A) = A′, P(B) = B′ et P(G) = G′.
Quel est le barycentre des points pondérés (A′, a) et (B′, b).
Solution :
Comme G = bar {(A, a) ; (B, b)} et que P(A) = A′, P(B) = B′, P(G) = G′, alors: G’ = bar {(A′, a) ; (B′, b)}
d. Réduction de la somme :
Propriété :
Soit (A, a) et (B, b) deux points pondérés tels que a + b ≠ 0 et G leur barycentre.
Pour tout point M du plan on a : 
Exercice de fixation
Soit le barycentre K des points pondérés (C, 3) et (D, 1) .Pour tout point M du plan exprime 
Solution : Pour tout point M du plan, 
Remarque : Lorsque a + b = 0, alors
e. Coordonnées du barycentre
Propriété
Le plan est muni du repère 
Si A(xA; yA), B(xB; yB) et si G est le barycentre de (A, a) et (B, b), alors 
Exercice de fixation
Soit A (1 , 2) et B (−1,3) dans le repère 
Détermine les coordonnées du barycentre G du système {(A, −1); (B, 2)} dans un repère
Solution :
II. Barycentre de trois points pondérés :
1. Définition et propriété :
Soit (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés tels que a + b + c ≠ 0.
Il existe un unique point G vérifiant 
.
Le point G s’appelle le barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).
Notation : G = bar {(A, a); (B, b); (C, c)}
Exercice de fixation :
Soient A, B, C et G quatre points du plan tels que : 
A partir de cette égalité vectorielle, détermine les points pondérés, pour lesquels G est le barycentre.
Solution :
Donc G = bar {(A, 1); (B, 2); (C, 1)}car 1 + 2 + 1 ≠ 0
Conséquence :
Exemple :
2. Propriétés
a. Homogénéité du barycentre
Propriété :
Soit k un nombre réel non nul et trois points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).
G est barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c) équivaut à G est barycentre
des points pondérés (A, ka), (B, kb) et (C, kc).
Exercice de fixation :
On donne G = bar {(A,1) ;(B,−7) ; (C, −4)}
Détermine les nombres réels a et c tels que 
Solution :
b. Isobarycentre
Définition :
Le barycentre des points pondérés (A, α), (B, α) et (C, α) où α ≠ 0 est appelé
L’isobarycentre des trois points A, B et C.
Exemple : 
Remarque
L’isobarycentre de trois points non alignés A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.
c. Réduction de la somme : 
Propriété :
Soit (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés tels que a + b + c ≠ 0 et G leur
barycentre.
Pour tout point M du plan on a : 
Exercice de fixation :
Soit le barycentre E des points pondérés (A, −1), (B, 4) et (C, −7).
Pour tout point M du plan exprime 
.
Solution :
d. Coordonnées du barycentre
Propriété :
Le plan est muni du repère
Exercice de fixation :
Soit A (1 , 2) , B (−1,3) et C (0, −2) dans le repère
Détermine les coordonnées du barycentre G du système {(A, −1); (B, 2); (C, 3)} dans un repère
Solution :
3. Barycentre partiel
Propriété et définition :
Soient (A, a) ; (B, b) et (C, c) trois points pondérés tels que :a + b + c ≠ 0 et a + b ≠ 0. Si G est le barycentre du système {(A, a); (B, b); (C, c)} et H le barycentre du système {(A, a); (B, b)} alors G est le barycentre du système {H, (a + b); (C, c)}.
H est appelé barycentre partiel des points pondérés (A, a) ; (B, b).
Exercice de fixation :
Soit G = bar{(A, 1); (B, 2); (C, 3)}
Exprime G comme l’isobarycentre de deux points.
Solution :
Soit H = bar{(A, 1); (B, 2)}
Comme G = bar{(A, 1); (B, 2); (C, 3)} alors G = bar{(H, 3); (C, 3)}. G est donc l’isobarycentre de H et C.
Remarque :
On ne change pas le barycentre de trois points pondérés en remplaçant deux d’entre eux par leur barycentre partiel (s’il existe) affecté de la somme des deux coefficients à condition que cette somme soit non nulle.
III. Barycentre de quatre points pondérés
1. Définition et propriété :
2. Conséquence :
IV. Ligne de niveau d’une application ƒ:
1. Définition :
Soit ƒ une application du plan dans R et k un nombre réel.
la ligne de niveau k de l’application ƒ est l’ensemble des points M du plan tels que ƒ(M) = k.
Exemple :
Soit O un point du plan et ƒ l’application du plan dans R qui à tout point M associe la distance OM.
La ligne de niveau 3 de f est l’ensemble des points M tels que OM = 3 ; C’est donc le cercle de centre O et de rayon 3.
2. Ligne de niveau de l’application M ⟼ aMA² + bMB²
Propriété :
Soit A et B deux points distincts du plan, a et b deux nombres réels tous non nuls. ƒ l’application du plan dans R tel que : ƒ(M)↦ aMA²+bMB²
Si a + b ≠ 0, on désigne par G le barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b).
la ligne de niveau k de l’application ƒ est : soit l’ensemble vide, soit le point G, soit un cercle de centre G.
Exercice de fixation :
On donne deux points A et B tels que AB = 12.
Soit l’application ƒ: M↦ MA²+MB²
Détermine la ligne de niveau 122 de f.
Solution :
3. Ligne de niveau de l’application M ⟼
Propriété :
Exercice de fixation :
Soit A et B deux points du plan tels AB = 6
Solution :
la ligne de niveau 0 de ƒ est le cercle de centre G et de rayon 3GB.
C- SITUATION COMPLEXE
Au cours d’une séance de travaux pratiques, les élèves d’une classe de première scientifique découvrent le dispositif ci-dessous.
Ce dispositif est une plaque triangulaire ABC de masse négligeable. On suspend à chacun de ses sommets des solides de masse (mA = 2g) ; (mB = 5g) et (mC = 3g).
Les élèves veulent déterminer en quel point G, accrocher le fil pour que la plaque reste en équilibre.
Détermine la position exacte du point G, en expliquant ta démarche.
Solution :
Pour déterminer la position du point G, je vais utiliser des notions de barycentre.
Pour cela, je vais :
– Déterminer H, le barycentre partiel du système {(A, 2); (C, 3)}
– Déterminer le point G, barycentre du système {(A, 2); (B, 5); (C, 3)}
– Préciser la position de G.
Déterminons H, le barycentre partiel du système {(A, 2); (C, 3)}
On a : 
Déterminons le point G, barycentre du système {(A, 2); (B, 5); (C, 3)}
On a : G = bar {(A, 2); (B, 5); (C, 3)} donc G = bar {(H, 5); (B, 5)}
G est l’isobarycentre des point H et B.
Donc la position exacte du point G est le milieu de [BH].
D- EXERCICES
Solution :
1) Justifions qu’il existe un point G barycentre des points (A, 3) et (B, 2).
On a 2 + 3 = 5 ≠ 0 alors le barycentre des points (A, 3) et (B, 2) existe.
Exercice 3
Sur la figure ci-dessous, on donne les points A, B et G alignés sur une droite régulièrement graduée.
Ecris G comme barycentre des points A et B avec des coefficients à préciser.
Solution :
On a: G est le barycentre des points pondérés (A,2) ; (B, 1)
Exercice 4
Construis le barycentre de (A, 2) ; (B, -1) et (C, 4) où BC = 6 cm.
Solution :
Exercice 5
ABC est un triangle et G est le barycentre de (A,1) ; (B, 4) ; (C, -3).
1) Construis le barycentre de H de (B, 4) et (C, -3)
2) Justifie que G est l’isobarycentre de points A et H.
3) Construis le point G.
Solution
1) Construisons le barycentre de H de (B, 4) et (C, -3)
2) Justifions que G est l’isobarycentre de points A et H.
G = bar {(A, 1); (B, 4); (C, − 3) } ;
Comme H = bar {(B, 4); (C, − 3) }
Alors G = bar {(H, 1); (A, 1) } d’après la propriété du barycentre partiel.
Par suite G est le milieu de[HA]
3) Construction du point G.
Exercice 6
Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB = 8 (l’unité est le centimètre).
H est le milieu de [BC].
Solution :
a) Construisons le barycentre G des points pondérés (A,2); (B,1) et (C,1).
G = bar {(A, 2); (B, 1); (C, 1) }
Comme H est le milieu de [BC]. Alors par application du barycentre partiel G = bar {(A, 2); (H; 2) } donc G est le milieu de [AH].
b) Déterminons l’ensemble (D1)
FIGURE :
Exercice 7
Chacun des côtés d’un triangle ABC est partagé en trois segments de même longueur grâce aux points : I et J sur [AB], K et L sur [BC], M et N sur [CA].
Démontrer que les droites (IL), (JM) et (KN) sont concourantes.
Solution
On a : I = bar{(A, 2); (B, 1)} ; J= bar{(A, 1); (B, 2)} ; N = bar{(A, 2); (C, 1)}
M = bar{(A, 1); (C, 2)} ; K = bar{(B, 2); (C, 1)} ; L = bar{(B, 1); (C, 2)}
Soit G = bar{(A, 2); (B, 2); (C, 2)}
On a : G = bar{(A, 2); (B, 1); (B, 1); (C, 2)} = bar{(I, 3); (L, 3)} donc G ∈ (IL)
G = bar{(A, 2); (C, 1); (B, 1); (C, 1)} = bar{(N, 3); (K, 3)} donc G ∈ (NK)
G = bar{(A, 1); (B, 2); (A, 1); (C, 2)} = bar{(J, 3); (M, 3)} donc G ∈ (JM)
Par conséquent, G ∈ (IL) ∩ (NK) ∩ (JM)
Exercice 8
On considère un parallélogramme ABCD. K est le milieu de [AD], L le milieu de [BC] et les points I et J partagent [AB] en trois parties égales.
Solution
a)
I = bar{(A, 2); (B, 1)}; J = bar{(A, 1); (B, 2)}; K = bar{(A, 1); (D, 1)}
Soit H le milieu de [DB]. On a : H = bar{(D, 1); (B, 1)} et C = bar{(A, −1); (H, 2)}, donc
C = bar{(A, −1); (B, 1); (D, 1)} = bar{(A, −3); (B, 3); (D, 3)}
Soit E le milieu de [KJ]. On a : E = bar{(K, 2); (J, 2)} et M = bar{(A, −2); (E, 4)}, donc
M = bar{(A, −2); (K, 2); (J, 2)} = bar{(A, −2); (A, 1); (D, 1); (J, 2)} = bar{(A, −1); (D, 1); (J, 2)}
= bar{(A, −3); (D, 3); (J, 6)} = bar{(A, −3); (D, 3); (A, 2); (B, 4)} = bar{(A, −1); (D, 3); (B, 4)}
b)
G = bar{(A, 1); (B, 2); (D, 1)} = bar{(K, 2); (B, 2)}. Donc G ∈ (KB)
G = bar{(A, 1); (B, 2); (D, 1)} = bar{(J, 3); (D, 1)}. Donc G ∈ (JD)
G = bar{(A, 1); (B, 2); (D, 1)} = bar{(A, 2); (A, −1); (B, 1); (B, 1); (D, 1)}
= bar{(A, 2); (B, 1); (A, −1); (B, 1); (D, 1)} = bar{(I, 3); (C, 1)}. Donc G ∈ (IC)
Par conséquent, G ∈ (KB) ∩ (JD) ∩ (IC)
c)
On sait que : M = bar{(A, −1) ; (D, 3) ; (B, 4)}
Donc M = bar{(A, −3); (B, 3); (D, 3); (A, 2); (B, 1)} = bar{(C, 3); (I, 3)}, alors les points M, C et I sont alignés.
De plus G ∈ (IC), donc les points M, C, G et I sont alignés.
Exercice 9
Exercice 10 :
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