A. SITUATION D’APPRENTISSAGE
Un professeur de mathématiques d’une classe de seconde C propose l’activité suivante à ses élèves lors d’un cours. Pour cela, il forme des équipes de deux personnes.
Dans chaque équipe, l’une des personnes dispose de la figure 1 et l’autre de la figure 2.
La personne qui a la figure 1 donne des informations à l’autre pour placer les points P et Q en utilisant les vecteurs 
Un bonus est attribué à chaque équipe qui réussit l’activité.
Tous les élèves de cette classe veulent participer. Ils décident alors de faire, par 2pes de deux, des recherches sur les combinaisons linéaires de vecteurs.
B. CONTENU DE LA LECON
I-VECTEURS
1. Définition et propriétés
a) Définition et notation :
– direction celle de la droite (AB) ;
– sens celui du couple (A; B) ;
– longueur celle du segment [AB].
On appelle plan vectoriel l’ensemble de tous les vecteurs du plan et on le note V.
Remarque :
– Sur la figure ci-dessous, on a : 
– Les couples (A, B) , (M, N) et (P, Q) sont des représentants du vecteur 
.
– Un vecteur a une infinité de représentants
b) Propriété fondamentale :
2- Norme d’un vecteur
a) Définition :
3-Vecteur unitaire
a) Définition :
On appelle vecteur unitaire tout vecteur de norme 1.
4 -Calculs vectoriels
a) Somme de vecteurs
Définition :
b) Multiplication d’un vecteur par un réel
Définition :
Conséquence :
Exercice de fixation :
5 -Combinaisons linéaires
a-Définition :
Exercice de fixation :
6-Vecteurs colinéaires
a-Définition :
Remarque
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
b- Propriétés :
Propriété 1 :
Propriété 2 :
Propriété 3 :
7- Caractérisation vectorielle du centre de gravité d’un triangle
Propriété
ABC est triangle. Le centre de gravité du triangle ABC est l’unique point G du plan tel que :
8- Vecteur directeur d’une droite
• Définition :
1.1 Propriétés
Exercice de fixation :
II -BASES ET REPERES
1.Bases de V :
Définitions :
Exercice de fixation :
b-Propriété
3-Expression de la norme dans une base orthonormée
Propriété :
Exercice de fixation :
Remarque
Cette propriété n’est applicable que dans une base orthonormée.
4 – Déterminant de deux vecteurs
a) Définition :
5 – Repères du plan
Exemples de repères :
Remarque : un repère orthonormal est aussi appelé repère orthonormé
b) Calcul dans un repère
Propriété :
Dans un repère (O, I, J), on donne les points
Exercice de fixation :
Le plan est muni d’un repère (O, I, J).
On donne les points A(-4 ;1) ; B(2 ;-3) et C(3 ;4) et I milieu du segment [BC]
1) Détermine les coordonnées de I.
2) Détermine les coordonnées du point G, centre de gravité du triangle ABC.
C. SITUATION COMPLEXE
À l’occasion d’un concours de logo organisé dans leur établissement, des élèves d’une classe de 5ième du Lycée Moderne de Jeunes Filles de Yopougon ont été déclarées lauréates grâce à la figure ci-dessus qu’elles ont produite. Sur cette figure, ABCD est un carré, AIB et BCV sont des triangles équilatéraux.
Selon le Jury, ces jeunes filles ont remporté le premier prix grâce à l’harmonie des couleurs, mais surtout grâce à l’exactitude de leur figure qui, en conformité avec les indications données, présente les trois points D, I, et V alignés.
Un groupe concurrent, pas très convaincu de l’alignement de ces trois points, veut en avoir le cœur net. Il sollicite ton aide.
En tant qu’élève de 2ndeC, en t’appuyant sur tes connaissances en mathématiques sur les vecteurs, prouve qu’au-delà du tracé de la droite (DV), les points D, I, et V sont bels et bien alignés.
Solution
Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser les connaissances sur les vecteurs et points du plan.
Nous effectuerons des calculs de coordonnées de points et de vecteurs puis de déterminant pour déduire l’alignement de points.
D. EXERCICES
1. Exercices d’application :
2. Exercices de renforcement
Exercice 4
Exercice 5 :
3. Exercice d’approfondissement
Exercice 6
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