A -SITUATION D’APPRENTISSAGE
Au cours d’une séance de travaux pratiques, les élèves d’une classe de première scientifique découvrent le dispositif ci-dessous.
Ce dispositif est une plaque triangulaire ABC de masse négligeable. On suspend à chacun de ses sommets des solides de masse (mA = 2g) ; (mB = 5g) et (mC = 3g).
Les élèves veulent déterminer en quel point G, accrocher le fil pour que la plaque reste en équilibre.
L’un des élèves affirme que le point G cherché doit vérifier la relation :
, mais n’arrive pas à justifier son affirmation. Ils décident de s’organiser pour déterminer la position exacte de G.
B- RESUME DE COURS
I. Barycentre de deux points pondérés
1. Point pondéré
Définition
Soit A est un point du plan et a un réel non nul, on appelle point pondéré, le couple (A, a).
Exemple : les couples (A, 2 ) ; (B,−5 ). Sont des points pondérés
2. Propriété et Définition
A et B sont deux points du plan, a et b sont deux nombres réels tels que : a + b ≠ 0.
Il existe un point G et un seul tel que :aGA→ + bGB→ = 0→
Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b).
Notation
Le barycentre G de deux points pondérés (A, a) et (B, b) se note :
G = bar {(A, a) ; (B, b)}
Exercice de fixation
Soient A, B et G trois points du plan tels que : 2GA→ − 3BG→ = 0→ .
A partir de cette égalité vectorielle, détermine les points pondérés, pour lesquels G est le barycentre.
Solution :
b. Théorème : Le barycentre de deux points A et B appartient à la droite (AB)
Exercice de fixation
Soient A,B et K trois points du plan tels que : 
Justifie que K appartient à la droite (AB).
Solution
Remarque
• Si les coefficients sont de même signe, alors le barycentre G∈ [AB]
• Si les coefficients sont de signes contraires, alors le barycentre G∈ (AB)∖[AB]
• Si les coefficients sont égaux, alors le barycentre G est le milieu de [AB]
3. Propriétés
a. Homogénéité du barycentre
Propriété
Soit k un nombre réel non nul et deux points pondérés (A, a) et (B, b).
G est barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b) équivaut à G est barycentre des points pondérés (A, ka) et (B, kb).
Exercice de fixation
On donne G = bar {(A,2) ;(B,7)}
Détermine le nombre réel a tel que G=bar{(A,a) ;(B,21)}
Solution
On a G = bar {(A,2) ;(B,7)}. Comme 21 = 3 × 7, alors a = 2 × 7 = 14.
Donc G=bar{(A,14) ;(B,21)
b. Isobarycentre
Définition
Le barycentre des points pondérés (A, α) et (B, α) où α ≠ 0 est appelé l’isobarycentre des points A et B, c’est le milieu de[AB].
Exemple : G=bar {(A,3) ;(B,3)} équivaut à G est l’isobarycentre des points A et B
G est le milieu du segment [AB].
c. Conservation du barycentre par projection
Propriété
Le projeté du barycentre de deux points pondérés est le barycentre des projetés de ces points affectés des mêmes coefficients.
Exercice de fixation
Soit G = bar {(A, a) ; (B, b)} et P une projection tel que : P(A) = A′, P(B) = B′et P(G) = G′.
Quel est le barycentre des points pondérés (A′, a) et (B′, b).
Solution
Comme G = bar {(A, a) ; (B, b)} et que P(A) = A′, P(B) = B′, P(G) = G′, alors: G’ = bar {(A′, a) ; (B′, b)}
d. Réduction de la somme : aMA→ + bMB→
Propriété
Soit (A, a) et (B, b) deux points pondérés tels que a + b ≠ 0 et G leur barycentre.
Pour tout point M du plan on a : 
Exercice de fixation :
II. Barycentre de trois points pondérés
1. Définition et propriété
Soit (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés tels que a + b + c ≠ 0.
Il existe un unique point G vérifiant aGA→ + bGB→ + cGC→ = 0→ .
Le point G s’appelle le barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).
Notation : G = bar {(A, a); (B, b); (C, c)}
Exercice de fixation
Soient A, B, C et G quatre points du plan tels que : 
A partir de cette égalité vectorielle, détermine les points pondérés, pour lesquels G est le barycentre.
Solution
Donc G = bar {(A, 1); (B, 2); (C, 1)}car 1 + 2 + 1 ≠ 0
Conséquence
2. Propriétés
a. Homogénéité du barycentre
Propriété
Soit k un nombre réel non nul et trois points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).
G est barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c) équivaut à G est barycentre
des points pondérés (A, ka), (B, kb) et (C, kc).
Exercice de fixation
b. Isobarycentre
Définition
Le barycentre des points pondérés (A, α), (B, α) et (C, α) où α ≠ 0 est appelé
L’isobarycentre des trois points A, B et C.
Exemple
−4GE→ − 4GH→ − 4GF→ = 0→ équivaut à G est l’isobarycentre de E, F et H.
Remarque
L’isobarycentre de trois points non alignés A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.
c. Réduction de la somme : aMA→ + bMB→ + cMC→
Propriété
Soit (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés tels que a + b + c ≠ 0 et G leur
barycentre.
Pour tout point M du plan on a : 
Exercice de fixation
Soit le barycentre E des points pondérés (A, −1), (B, 4) et (C, −7).
Pour tout point M du plan exprime −MA→ + 4MB→ − 7MC→ en fonction de ME→ .
Solution
d. Coordonnées du barycentre
Propriété
Exercice de fixation
3. Barycentre partiel
Propriété et définition
Soient (A, a) ; (B, b) et (C, c) trois points pondérés tels que :a + b + c ≠ 0 et a + b ≠ 0. Si G est le barycentre du système {(A, a); (B, b); (C, c)} et H le barycentre du système {(A, a); (B, b)} alors G est le barycentre du système {H, (a + b); (C, c)}.
H est appelé barycentre partiel des points pondérés (A, a) ; (B, b).
Exercice de fixation
Soit G = bar{(A, 1); (B, 2); (C, 3)}
Exprime G comme l’isobarycentre de deux points.
Solution
Soit H = bar{(A, 1); (B, 2)}
Comme G = bar{(A, 1); (B, 2); (C, 3)} alors G = bar{(H, 3); (C, 3)}. G est donc l’isobarycentre de H et C.
Remarque
On ne change pas le barycentre de trois points pondérés en remplaçant deux d’entre eux par leur barycentre partiel (s’il existe) affecté de la somme des deux coefficients à condition que cette somme soit non nulle.
III. Barycentre de quatre points pondérés
1. Définition et propriété
Soit (A,a),(B,b),(C, c) et (D, d) quatre points pondérés tels que a + b + c + d ≠ 0.
Il existe un unique point G vérifiant : 
Le point G s’appelle le barycentre des points pondérés (A, a), (B, b), (C, c) et (D, d).
Notation : G = bar {(A, a); (B, b); (C, c); (D, d)}
Remarque : L’isobarycentre des sommets d’un parallélogramme est le centre de ce parallélogramme.
Exercice de fixation :
Soient A, B, C,D et G des points du plan tels que : 
A partir de cette égalité vectorielle, détermine les points pondérés, pour lesquels G est le barycentre.
Solution
IV. Ligne de niveau d’une application ƒ:
1. Définition
Soit ƒ une application du plan dans R et k un nombre réel.
la ligne de niveau k de l’application ƒ est l’ensemble des points M du plan tels que ƒ(M)= k.
Exemple
Soit O un point du plan et f l’application du plan dans R qui à tout point M associe la distance OM.
La ligne de niveau 3 de ƒ est l’ensemble des points M tels que OM = 3 ; C’est donc le cercle de centre O et de rayon 3.
2. Ligne de niveau de l’application M ⟼ aMA² + bMB²
Propriété
Soit A et B deux points distincts du plan, a et b deux nombres réels tous non nuls. ƒ l’application du plan dans R tel que : ƒ(M)↦ aMA² + bMB²
Si a + b ≠ 0, on désigne par G le barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b).
la ligne de niveau k de l’application f est : soit l’ensemble vide, soit le point G, soit un cercle de centre G.
Exercice de fixation
On donne deux points A et B tels que AB = 12.
Soit l’application ƒ: M↦ MA² +MB²
Détermine la ligne de niveau 122 de ƒ.
Exercice de fixation
Soit A et B deux points du plan tels AB = 6
la ligne de niveau 0 de ƒ est le cercle de centre G et de rayon 3GB.
C- SITUATION COMPLEXE
Au cours d’une séance de travaux pratiques, les élèves d’une classe de première scientifique découvrent le dispositif ci-dessous.
Ce dispositif est une plaque triangulaire ABC de masse négligeable. On suspend à chacun de ses sommets des solides de masse (mA = 2g) ; (mB = 5g) et (mC = 3g).
Les élèves veulent déterminer en quel point G, accrocher le fil pour que la plaque reste en équilibre.
Détermine la position exacte du point G, en expliquant ta démarche.
Solution
Pour déterminer la position du point G, je vais utiliser des notions de barycentre.
Pour cela, je vais :
– Déterminer H, le barycentre partiel du système {(A, 2); (C, 3)}
– Déterminer le point G, barycentre du système {(A, 2); (B, 5); (C, 3)}
– Préciser la position de G.
Déterminons H, le barycentre partiel du système {(A, 2); (C, 3)}
Déterminons le point G, barycentre du système {(A, 2); (B, 5); (C, 3)}
On a : G = bar {(A, 2); (B, 5); (C, 3)} donc G = bar {(H, 5); (B, 5)}
G est l’isobarycentre des point H et B.
Donc la position exacte du point G est le milieu de [BH].
D- EXERCICES
Exercice 1
Soient A, B et H trois points tels que : 
Complète les pointillés pour que la phrase soit vraie.
H est le barycentre des points pondérés …….
Solution
H est le barycentre des points pondérés (A ;5) (B ; 2)
Exercice 2
Soient A et B deux points distincts.
1) Justifie qu’il existe un point G barycentre des points (A, 3) et (B, 2).
Solution
1) Justifions qu’il existe un point G barycentre des points (A, 3) et (B, 2).
On a 2 + 3 = 5 ≠ 0 alors le barycentre des points (A, 3) et (B, 2) existe.
Exercice 3
Sur la figure ci-dessous, on donne les points A, B et G alignés sur une droite régulièrement graduée.
Écris G comme barycentre des points A et B avec des coefficients à préciser.
Solution
On a: G est le barycentre des points pondérés (A,2) ; (B, 1)
Exercice 4
Construis le barycentre de (A, 2) ; (B, -1) et (C, 4) où BC = 6 cm.
Solution
Soit G le barycentre de (A, 2) ; (B, -1) et (C, 4)
Exercice 5
ABC est un triangle et G est le barycentre de (A,1) ; (B, 4) ; (C, -3).
1) Construis le barycentre de H de (B, 4) et (C, -3)
2) Justifie que G est l’isobarycentre de points A et H.
3) Construis le point G.
4) Soit A (1, −2) , B (−3, −2) et C (−1,0) dans le repère (O ;i→, j→) , détermine les coordonnées du barycentre G.
Solution
1) Construisons le barycentre de H de (B, 4) et (C, -3)
2) Justifions que G est l’isobarycentre de points A et H.
G = bar {(A, 1); (B, 4); (C, − 3) } ;
Comme H = bar {(B, 4); (C, − 3) }
Alors G = bar {(H, 1); (A, 1) } d’après la propriété du barycentre partiel.
Par suite G est le milieu de[HA]
3) Construction du point G.
Exercice 6
Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB = 8 (l’unité est le centimètre).
H est le milieu de [BC].
a) Construis le barycentre G des points pondérés (A,2); (B,1) et (C,1).
Construis (C2). Montre que (C2) contient le point B.
Solution
a) Construisons le barycentre G des points pondérés (A,2); (B,1) et (C,1).
G = bar {(A, 2); (B, 1); (C, 1) }
Comme H est le milieu de [BC]. Alors par application du barycentre partiel
G = bar {(A, 2); (H; 2) } donc G est le milieu de [AH].
b) Déterminons l’ensemble (D1)
FIGURE
Exercice 7
Chacun des côtés d’un triangle ABC est partagé en
trois segments de même longueur grâce aux points :
I et J sur [AB], K et L sur [BC], M et N sur [CA].
Démontrer que les droites (IL), (JM) et (KN) sont
concourantes.
Solution
On a : I = bar{(A, 2); (B, 1)} ; J= bar{(A, 1); (B, 2)} ; N = bar{(A, 2); (C, 1)}
M = bar{(A, 1); (C, 2)} ; K = bar{(B, 2); (C, 1)} ; L = bar{(B, 1); (C, 2)}
Soit G = bar{(A, 2); (B, 2); (C, 2)}
On a : G = bar{(A, 2); (B, 1); (B, 1); (C, 2)} = bar{(I, 3); (L, 3)} donc G ∈ (IL)
G = bar{(A, 2); (C, 1); (B, 1); (C, 1)} = bar{(N, 3); (K, 3)} donc G ∈ (NK)
G = bar{(A, 1); (B, 2); (A, 1); (C, 2)} = bar{(J, 3); (M, 3)} donc G ∈ (JM)
Par conséquent, G ∈ (IL) ∩ (NK) ∩ (JM)
Exercice 8
On considère un parallélogramme ABCD. K est le milieu de [AD], L le milieu de [BC] et les points I et J partagent [AB] en trois parties égales.
Solution
a)
I = bar{(A, 2); (B, 1)}; J = bar{(A, 1); (B, 2)}; K = bar{(A, 1); (D, 1)}
Soit H le milieu de [DB]. On a : H = bar{(D, 1); (B, 1)} et C = bar{(A, −1); (H, 2)}, donc
C = bar{(A, −1); (B, 1); (D, 1)} = bar{(A, −3); (B, 3); (D, 3)}
Soit E le milieu de [KJ]. On a : E = bar{(K, 2); (J, 2)} et M = bar{(A, −2); (E, 4)}, donc
M = bar{(A, −2); (K, 2); (J, 2)} = bar{(A, −2); (A, 1); (D, 1); (J, 2)} = bar{(A, −1); (D, 1); (J, 2)}
= bar{(A, −3); (D, 3); (J, 6)} = bar{(A, −3); (D, 3); (A, 2); (B, 4)} = bar{(A, −1); (D, 3); (B, 4)}
b)
G = bar{(A, 1); (B, 2); (D, 1)} = bar{(K, 2); (B, 2)}. Donc G ∈ (KB)
G = bar{(A, 1); (B, 2); (D, 1)} = bar{(J, 3); (D, 1)}. Donc G ∈ (JD)
G = bar{(A, 1); (B, 2); (D, 1)} = bar{(A, 2); (A, −1); (B, 1); (B, 1); (D, 1)}
= bar{(A, 2); (B, 1); (A, −1); (B, 1); (D, 1)} = bar{(I, 3); (C, 1)}. Donc G ∈ (IC)
Par conséquent, G ∈ (KB) ∩ (JD) ∩ (IC)
c)
On sait que : M = bar{(A, −1) ; (D, 3) ; (B, 4)}
Donc M = bar{(A, −3); (B, 3); (D, 3); (A, 2); (B, 1)} = bar{(C, 3); (I, 3)}, alors les points M, C et I sont alignés.
De plus G ∈ (IC), donc les points M, C, G et I sont alignés.
Exercice 9
Exercice 10
Soit un triangle ABC ; I, J et K les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB], L est le milieu de
[JC] et M le symétrique de K par rapport à B.
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