A. SITUATION D’APPRENTISSAGE
Les professeurs de SVT d’un lycée ont semé, à titre expérimental, du maïs dans un bac déposé au laboratoire. Quatre de ces professeurs ont relevé la longueur x qui sépare la hauteur atteinte par un même pied de maïs un lundi de celle atteinte le lundi suivant.
Ils ont marqué les résultats sur une feuille affichée au laboratoire.
• Professeur A x:∈[16;18]
• Professeur B: x ∈ {16,5 ; 17,5}
• Professeur C : |x – 17|≤ 0,5
• Professeur D: x est élément de l’intervalle fermé de centre 17 et de rayon 0,5.
L’un des élèves d’une classe de 2nde C, venu dans ce laboratoire, a vu les relevés des quatre professeurs. Il affirme que ces professeurs ont employé des langages différents pour exprimer la même chose.
Les autres élèves, surpris par cette affirmation, cherchent à la vérifier en s’informant sur l’ensemble des nombres réels.
B. CONTENU DE LA LECON
I. NOMBRES RATIONNELS ET IRRATIONNELS
1. Nombres rationnels
Définition :
2. Nombres irrationnels
a) Définition :
Un nombre est irrationnel lorsqu’il n’est pas rationnel
b- Raisonnement par l’absurde :
Exemple :
Démontrons que √2 est un nombre irrationnel.
Alors a² et 2 b² ont le même chiffre des unités.
Les tableaux ci-dessous donnent le chiffre des unités de a² et de 2 b²
en fonction du chiffre des unités des nombres de a et b.
Principe du raisonnement par l’absurde
Lorsqu’on veut démontrer par l’absurde une proposition (P), on suppose que :
– la proposition contraire (non (P)) est vraie et on aboutit à une contradiction.
– On conclut alors que la proposition (P) est vraie.
Exemple.
Démontrons par l’absurde que √2 – 1 est un nombre irrationnel.
Supposons que √2 – 1 est rationnel.
3. Ensemble des nombres réels
Définition :
L’ensemble formé des nombres rationnels et des nombres irrationnels est appelé l’ensemble des nombres réels.
II. Comparaison des nombres réels
1. Inégalités dans R
Point méthode :
Pour comparer deux nombres réels, on peut :
• Étudier le signe de leur différence ;
• Les comparer à un nombre intermédiaire ;
• S’ils sont strictement positifs, comparer leurs carrés ou leurs racines carrées ;
• Comparer leurs inverses s’ils sont de même signe.
Exemple :
2. Ordre et opérations dans R
Propriétés :
a, b, c et d des nombres réels, on a :
• Si a ≤ b , alors a + c ≤ b + c.
• Si a ≤ b et c ≤ d , alors a + c ≤ b + d.
• Si a ≤ b et c > 0, alors ac ≤ bc.
• Si a ≤ b et c < 0 , alors ac ≥ bc.
• Si a, b, c et d sont des nombres réels positifs tels que : a ≤ b et c ≤ d,
alors ac ≤ bd.
• Pour tous nombres réels a et b positifs : a ≤ b ⟺ a² ≤ b².
a ≤ b ⟺ √a ≤ √b.
Remarque
Il n’existe pas de règles pour « soustraire » ou « diviser » membre à membre deux inégalités.
Exercice de fixation
III. MINORANTS- MAJORANTS
Définition :
Soit E un sous-ensemble non vide de R.
• On dit qu’un nombre réel M est un majorant de E lorsque M est supérieur ou égal à
tout élément de E. Un ensemble qui admet un majorant est dit majoré.
M est un majorant de E signifie que : ∀x ∈ E, x ≤ M.
• On dit qu’un nombre réel m est un minorant de E lorsque m est inférieur ou égal à
tout élément de E. Un ensemble qui admet un minorant est dit minoré.
m est un minorant de E signifie que : ∀x ∈ E, x ≥ m.
Remarques
➢ Un ensemble est dit borné s’il est à la fois minoré et majoré.
➢ Z, Q et R ne sont ni majorés ni minorés.
➢ N est minoré par 0, −1, −π, mais n’est pas majoré.
Exemples
• L’intervalle ] − ∞; 3[ est majoré par 3 mais n’est pas minoré.
• Soit A = {−4 ; −2 ; −1 ; 0 ; 5 ; 8}.
L’ensemble des minorants de A est constitué de tous les réels inférieurs ou égaux à −4.
Exemples de minorants de A :−7; −4,1; −5,03.
L’ensemble des majorants de A est constitué de tous les réels supérieurs ou égaux à 8 .
Exemples de majorants de A : 8 ; 8,5 ; 20
IV. MAXIMUM-MINIMUM
Définition :
Soit E un sous-ensemble non vide de R.
• Lorsqu’il existe, le plus grand élément de E est appelé le maximum de E.
• Lorsqu’il existe, le plus petit élément de E est appelé le minimum de E.
Exemples
• Le minimum et le maximum de [0; 1] sont respectivement 0 et 1.
• L’intervalle ]−1; 6[ n’admet ni maximum ni minimum.
Remarques
➢ Toute partie finie de R admet un maximum et un minimum.
➢ 0 est le minimum de N.
➢ Le maximum de E, s’il existe est le plus petit des majorants de E.
➢ Le minimum de E, s’il existe est le plus grand des minorants de E.
V. VALEUR ABSOLUE
1. Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre réel la distance à zéro de ce nombre.
Pour tout nombre réel a, la valeur absolue de a se note |a| .
Remarque : |a|= a si a ≥ 0 et |a|= −a si a ≤ 0
Exemples
• |−69| = 69 car -69 < 0
• |4| = 4 car 4> 0
• |√3 − 2| = 2 − √3 car √3 − 2 < 0
2. Propriétés
Soit x et y deux nombres réels et r un nombre réel strictement positif. On a :
1) |x| ≥ 0
2) |x| = 0 ⟺ x = 0
3) |−x| = |x|
4) |x| = |y| ⟺ x = y ou x = −y
5) √x² = |x|
6) |xy| = |x| × |y|
7) 
8) |x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire).
9) |x| ≤ r ⟺ −r ≤ x ≤ r
Exercice de fixation
Soit x et y deux nombres réels.
Réponds par Vrai (V) ou par Faux (F) à chacune des affirmations dans le tableau ci-dessous:
Solution :
1- F ; 2-F ; 3-V ; 4-F ; 5-V ; 6-F ; 7-V.
3. Distance de deux nombres réels
Soit x et y deux nombres réels. Le nombre réel |x − y| est appelé distance de x et y.
On la note : d(x; y).
Remarque
Soit (D) une droite munie d’un repère (O,I). Pour tous points M et N de (D) d’abscisses respectives x et y, on a MN = |x − y|.
Exemple
On donne la droite graduée ci-dessous.
4. Résolution algébrique d’une équation du type∶ |x − a| = r (r > 0)
Propriété :
Soit a un nombre réel et r un nombre réel strictement positif.
L’équation : x ∈ R, |x − a| = r, a pour ensemble de solution {a − r; a + r}
Exercice de fixation
Réponds par Vrai (V) ou par Faux (F) à chacune des affirmations dans le tableau ci-dessous:
Solution :
1-F ; 2- F ; 3-V
5. Résolution graphique d’une équation du type ∶ |x − a| = r (r > 0)
Propriété :
Soit A et M les points d’abscisses respectives a et x sur une droite graduée.
On a : |x − a| = r ⟺ AM = r.
Remarque :
Il s’agit ici de trouver les abscisses des points M de la droite graduée tels que : AM = r.
Les nombres cherchés sont : a − r et a + r
Exercice de fixation
Résous graphiquement dans R, l’équation. |x + 2| = 5
Solution :
Résoudre graphiquement l’équation |x + 2| = 5revient à trouver les abscisses des points M de la droite graduée tels que : AM = 5.
D’après le graphique ci-dessus les nombres cherchés sont −7 et 3 . D’où S = {− 7;3 }.
6. Résolution algébrique d’une inéquation du type ∶ |x − a| ≤ r (r > 0)
Propriété :
Soit a un nombre réel et r un nombre réel strictement positif.
L’inéquation : x ∈ R, |x − a| ≤ r ⟺ a − r ≤ x ≤ a + r.
Exercice de fixation
Résous dans R l’inéquation : |x − 2| ≤ 3
Solution :
Cette inéquation est de la forme |x − a| ≤ r avec r = 3 et a = 2.
Donc l’ensemble des solutions est : SR = [2 − 3; 2 + 3] soit SR = [−1; 5]
7. Résolution graphique d’une inéquation du type : |x − a| ≤ r (r > 0)
Propriété :
Soit A et M les points d’abscisses respectives a et x sur une droite graduée.
On a : |x − a| ≤ r ⟺ AM ≤ r.
– +
Remarque :
Il s’agit ici de trouver les abscisses des points M de la droite graduée tels que : AM ≤ r
Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est SR = [a − r ; a + r].
Exercice de fixation :
Résous graphiquement l’inéquation: |x − 3| ≤ 2 revient donc à trouver les abscisses des points M de la droite graduée tels que : AM ≤ 2 .
D’après le graphique ci-dessus les nombres cherchés sont ceux qui appartiennent à l’intervalle [1;5]. D’où S = [1;5]
VI. CALCULS APPROCHES
1. Valeur approchée
Définition :
Soient x et y deux nombres réels et ε un nombre réel strictement positif.
y est une valeur approchée de x à ε près signifie que |x − y|≤ε .
ε est appelé incertitude de cette valeur approchée.
Exemple :
Soit l’inégalité : |x − 2,512| ≤ 0,005.
2,512 est une valeur approchée de x à 0,005-près.
Remarques :
Soit x un nombre réel et m un nombre entier naturel.
Les approximations décimales d’ordre m par défaut et par excès de x sont des valeurs approchées de x à 10−m près.
Exemple :
C. SITUATION COMPLEXE
Deux élèves, ALI et YAO habitent au bord d’une rue rectiligne à 400 m l’un de l’autre. Les parents de YAO lui demandent de ne pas s’éloigner de plus de 300 m de la maison. Ceux de ALI lui demandent de ne pas s’éloigner de plus de 200 m de la maison. Ils souhaitent déterminer la portion du bord de la rue où ils peuvent se rencontrer pour échanger sur des exercices de classe sans désobéir à leurs parents. Soucieux, ils demandent ta contribution.
En utilisant tes connaissances en mathématiques, détermine la portion du bord de la rue où les deux élèves peuvent se retrouver sans désobéir à leurs parents.
Solution :
Pour résoudre ce problème, je vais utiliser la leçon sur les nombres réels notamment les calculs de distance et la résolution des inéquations avec valeur absolue.
On appelle A le point représentant la maison de ALI et Y celui représentant la maison de YAO.
L’abscisse de A est 0, celle de Y est 400 et un point M de la droite (AY), point de rencontre des deux élèves a pour abscisse x.
On a : xε[0 ; 400] (1)
En M on a : |x| ≤ 200 et |x − 400| ≤ 300 ce qui donne xε[100 ; 200] (2)
De (1) et (2) on peut dire que la rencontre de ALI et YAO a lieu entre 100m et 200m de la maison de ALI.
Ou bien
On appelle A le point représentant la maison de ALI et Y celui représentant la maison de YAO.
L’abscisse de A est 400, celle de Y est 0 et un point M de la droite (AY), point de rencontre des deux élèves a pour abscisse x.
On a : xε[0 ; 400] (1)
En M on a : |x| ≤ 300 et |x − 400| ≤ 200 ce qui donne xε[200 ; 300] (2)
De (1) et (2) on peut dire que la rencontre de ALI et YAO a lieu entre 200m et 300m de la maison de YAO.
D. EXERCICES
1- Exercices d’application
Exercice 1
Soit E un sous ensemble non vide de R.
Réordonne les morceaux de phrases suivants pour obtenir une définition correcte dans chacun des cas suivants :
1-est un minorant de E — à tous les éléments de E — un nombre réel m — signifie que m est inférieur ou égal.
2-signifie que M est supérieur ou égal — un nombre réel M — à tous les éléments de E — est un majorant de E .
Solution :
1-Un nombre réel m est un minorant de E signifie que m est inférieur ou égal à tous les éléments de E .
2-Un nombre réel M est un majorant de E Signifie que M est supérieur ou égal à tous les éléments de E .
Exercice 2 :
Réponds par Vrai (V) ou par Faux (F) à chacune des affirmations dans le tableau ci-dessous:
Solution :
1-V ; 2-F ; 3-F ; 4-F ; 5-V ; 6-V
Exercice 3
Complète le tableau ci-dessous en donnant la valeur de la distance de x à y.
Exercice 4
Soit l’intervalle B = ]− 2;7]
1-Trouve trois minorants et trois majorants de B .
2-Trouve si possible le maximum de B.
3-Justifie que B n’admet pas de minimum.
4-Ecris l’ensemble de tous les majorants de B .
5-Ecris l’ensemble de tous les minorants de B .
Solution :
On a B = ]− 2;7]:
1 -Trois minorants de B : − 2;− 8;− 15
-Trois majorants de B : 7; 13; 24
2- Le maximum de B est 7 .
3-B n’admet pas de minimum car -2 est le plus grand des minorants et -2 ∉ ]-2 ;7].
4 -L’ensemble de tous les majorants de B est [7 ; +∞[
5 -L’ensemble de tous les minorants de B est ] − ∞; −2].
Exercice 5
Résous dans R l’inéquation :
(I) : |x + 2| ≤ 3.
Solution :
|x + 2| ≤ 3 équivaut à − 3 ≤ x + 2 ≤ 3
équivaut à −5 ≤ x ≤ 1 donc SR = [−5 ; 1]
2- Exercices de renforcement
Exercice 6
Sachant que √5 est un nombre irrationnel, démontre par l’absurde que A = √5 − 2 est irrationnel.
Solution :
On suppose que A est rationnel et on a : A = √5 − 2 donc A + 2 = √5.
2 est rationnel et A aussi l’est, donc A + 2 est rationnel et par conséquent √5 serait un
rationnel ce qui est en contradiction avec l’hypothèse de départ.
En conclusion A = √5 − 2 est irrationnel.
Exercice 7
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs.
Compare A et B en étudiant le signe de A B− dans chacun des cas suivants :
Exercice 8 :
1) Trouve trois éléments de A .
2) a- Justifie que 1 est un majorant de A .
b- Déduis en que 1 est le maximum de A .
3) Démontre par l’absurde que A n’admet pas de minimum.
Dans ce cas m ne serait pas le minimum de A d’où la contradiction.
Donc A n’admet pas de minimum.
3- Exercice d’approfondissement
Exercice 9
On donne : 2,15 ≤ x ≤ 2,18.
Détermine une valeur approchée de x, en précisant son incertitude.
Solution :
Soit y, une valeur approchée de x à ε-près ; on a : | x − y |≤ ε ce qui donne les
inéquations : −ε ≤ x − y ≤ ε , soit y − ε ≤ x ≤ y + ε or 2,15 ≤ x ≤ 2,18.
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