A. SITUATION D’APPRENTISSAGE
Akissi est une élève de seconde C. Lors de ses recherches sur internet, elle découvre les gravures ci-dessous.
Emerveillée par l’harmonie de ces figures, elle les présente à ses camarades de classe.
L’un d’entre eux affirme qu’on peut obtenir chacune de ces figures à partir d’un seul élément les composant, en utilisant des symétries ou des translations. N’étant pas convaincus de cette affirmation, Akissi et ses camardes décident d’approfondir leurs connaissances sur l’utilisation des symétries et des translations.
B. CONTENU DE LA LECON
1. Applications du plan
1.1 Définition
On appelle application du plan, toute correspondance ƒ du plan dans lui-même qui à
chaque point M associe un unique point M’.
M’est appelé image de M par f et M est un antécédent de M’ par ƒ.
Si M’ = M, on dit que M est invariant par ƒ.
1.2 Exemple
La symétrie par rapport à un point et la symétrie par rapport à une droite sont des applications du plan.
2. Translation
2.1 Définition
2.2 Propriété caractéristique de la translation
Propriété
Soit f une application du plan dans le plan.
3. Symétrie centrale
3.1 Définition
Soit I un point du plan
On appelle symétrie centrale de centre I, l’application du plan qui à tout point M associe le point M′ tel que : I est le milieu du segment [MM’] si M ≠ I et si M = I alors M′ = I.
On note : M′ = SI(M).
Exercice de fixation
Reproduis la figure ci-dessous, puis construis l’image du triangle ABC par la symétrie de centre O.
3.3 Propriété caractéristique de la symétrie centrale
Propriété
Solution :
SA(B) = E et SA(C) = F donc d’après la propriété caractéristique de la symétrie centrale,
4. Symétrie orthogonale
Définition
(D) est une droite du plan.
On appelle symétrie orthogonale d’axe (D), l’application du plan qui à tout point M associe le point M′ tel Que la droite (D) est la médiatrice du segment [MM’] si M ∉ (D) et M’=M si M ∈ (D).
On la note : S(D)(M) = M′
Points invariants : les points invariants de S(D) sont les points de la droite (D). On dit que la droite (D) est invariante point par point par la symétrie orthogonale d’axe (D).
Exemple
On donne la figure codée ci-dessous.
On a :
5. Utilisation des symétries et des translations
5.1 Images de figures simples
Propriétés
Le tableau suivant résume et complète les propriétés déjà énoncées dans les classes antérieures.
Exercice de fixation
Sur le graphique ci-dessous, E et F sont les images respectives des points C et D par la symétrie orthogonale d’axe (L).
G est le point d’intersection des droites (CF) et (DE).
Justifie que le point G appartient à la droite (L).
5.2 Utilisation d’une symétrie centrale, d’une symétrie orthogonale ou une translation pour construire :
Méthode :
• Lecture de l’énoncée :
– Relever les données ;
– Relever les instruments imposés ;
• Recherche d’une démarche :
– Etablir un programme de construction ;
– Faire une esquisse ;
– Analyser cette esquisse ;
– Rechercher une méthode de construction ;
• Réalisation de la construction :
– Construire la figure et la coder ;
– Examiner éventuellement le nombre de solutions ;
– Justifier que la construction respecte les contraintes de l’énoncé ;
Exercice de fixation
Sur la figure ci-dessous, les droites (L) et (∆) sont sécantes.
A et B sont deux points distincts n’appartenant pas aux droites (L) et (∆).
Construis un parallélogramme ABCD tel que C appartienne à (L) et D appartienne à (∆).
On obtient aisément le point C car les supports des côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles ; donc la parallèle à (AB) passant par D coupe (L) en C.
5.3 Utilisation d’une symétrie centrale, d’une symétrie orthogonale ou une translation pour démontrer :
Méthode :
• Lecture de l’énoncée :
– Faire ou reproduire une figure codée (éventuellement après une esquisse) ;
– Relever les données et la conclusion ;
• Recherche une démarche :
– Analyser la figure codée ;
– Rechercher une démarche de démonstration ;
– Rechercher les outils nécessaires aux justifications ;
• Rédaction de la démonstration :
– Rédiger les différentes étapes de la démonstration et les justifier ;
Exercice de fixation
ABC est un triangle quelconque, d’orthocentre H. BCDE est un rectangle.
(L1) est la droite perpendiculaire à (BC) passant par A, (L2) est la droite perpendiculaire à (AB) passant par D et (L3) est la perpendiculaire à (AC) passant par E.
En utilisant une translation, démontre que les droites (L1), (L2) et (L3) sont concourantes.
5-4 Des symétries et translations pour déterminer un ensemble de points
Méthode :
• Lecture de l’énoncée :
– Relever les données ;
– Relever les instruments imposés ;
• Recherche une démarche :
– Faire une esquisse ;
– Analyser cette esquisse ;
– Rechercher une méthode de construction ;
• Réalisation de la solution :
– Rédiger le programme de construction ;
– Construire la figure et la coder ;
– Examiner éventuellement le nombre de solutions ;
– Justifier que la construction respecte les contraintes de l’énoncé ;
Exercice de fixation
On considère un cercle (Γ) de centre O et un point M de ce cercle. Soit A et B deux points distincts tels que la droite (AB) n’ait aucun point commun avec (Γ).
1. Construis le point N tel que NBMA soit un parallélogramme.
2. Détermine le lieu du point N lorsque le point M décrit le cercle (Γ) .
Solution :
1) NAMB est un parallélogramme, les segments [AB] et [NM] sont les diagonales de ce parallélogramme.
Considérons le point I, centre du parallélogramme NAMB. I est le milieu de [AB].
On a : N = SI(M).
2) Lorsque le point M parcourt (C), son image N par symétrie de centre I va parcourir l’image du cercle (C) par SI.
C. SITUATION COMPLEXE
Sur le plan d’une ville, deux routes rectilignes sont tracées. Ces deux routes se croisent en un rond-point noté O, en dehors du plan de l’ilot 326 (voir figure ci-dessous). L’aménagement de la ville a prévu une troisième route rectiligne passant par le point A du plan et qui croisent les deux premières routes en O.
Etant dans l’impossibilité de prolonger le plan, le géomètre en chef te sollicite pour tracer la troisième voie sur le plan ci-dessous sans chercher à placer le point O.
En utilisant tes connaissances sur l’utilisation des symétries et des translations, trace sur le plan la droite qui représente la nouvelle route à construire.
Solution :
Pour résoudre ce problème, je vais utiliser des notions qui portent sur l’utilisation des symétries et translations.
Pour cela je vais :
– Placer un point I
– Construire les droites (∆) et (∆′) images respectives de (D) et (D’) par SI
– Placer le point O’ intersection de (∆) et (∆′)
– Tracer la droite (A’O’)
– Tracer la droite parallèle à (A’O’) passant par A
– Déduire le tracé de la troisième voie
• Construction
• Le point O’ est l’image du point O par SI, donc la droite (A’O’) est l’image de la droite (AO) par SI.
Par conséquent, (AO) est la droite parallèle à (A’O’) passant par A.
La troisième voie est donc représentée par la parallèle à (A’O’) passant par A.
D. EXERCICES
1. Exercices d’application
Exercice 1
Sur la figure ci-contre, on considère le losange ABCD de centre O. F est le symétrique de C par rapport à B.
A chacune des affirmations suivantes, réponds par Vrai si l’affirmation est juste ou par Faux si non, en cochant la case qui correspond.
Solution :
Exercice 2
Trois élèves ont construit l’image du point A par la symétrie orthogonale d’axe (D). Les dessins ci-dessous représentent leurs solutions. Indique la construction juste :
Solution :
Figure 3
2. Exercices de renforcement
Exercice 3
On donne un triangle quelconque ABC. Soit I le milieu du segment [BC], E et F les points de la droite (AI) tels que (BE) et (CF) soient perpendiculaires à la droite (AI).
Démontre que BE = CF.
Solution :
(CF) et (BE) sont perpendiculaires à (AI), donc elles sont parallèles.
SI (C) = B . Donc l’image de la droite (CF) passe nécessairement par B et est parallèle à (CF), elle ne peut-être que la droite (BE).
(CF) ∩ (AI) = {F}, (BE) ∩ (AI) = {E}. De plus SI(CF) = (BE) et SI(AI) = (AI) donc SI (F) = E.
On a : SI(C) = B et SI(F) = E donc CF = BE.
Exercice 4
On considère une droite (∆) et un point M de cette droite. Soit A et B deux points distincts n’appartenant pas à (∆).
1-Construis le point N tel que NABM soit un parallélogramme.
2-Détermine le lieu géométrique du point N lorsque le point M décrit la droite (∆) ?
Solution :
Exercice d’approfondissement
Exercice 5
ABC est un triangle rectangle en B. On désigne par I le milieu de [BC], par J le milieu de [AB] et par H le projeté orthogonal de B sur (AC).
1 -Démontre que (IJ) est la médiatrice de [BH].
2 -En utilisant une symétrie orthogonale, démontre que (HI) est perpendiculaire à (HJ).
Solution :
1- On considére le triangle ABC. I est le milieu de [BC] et J milieu de [BA] donc (IJ) est parallèle à (AC).
Or (AC) est perpendiculaire à (BH), donc (IJ) perpendiculaire à (BH).
On considére le triangle BCH, I est le milieu [BC] et (IJ) est parallèle à (CH), donc (IJ) passe par le milieu de [BH].
Par conséquent, (IJ) est la médiatrice de [BH].
2- On considère la symétrie orthogonale d’axe (IJ) :
S(IJ)(B) = H ; S(IJ)(I) = I et S(IJ)(J) = J donc (BI) a pour image (IH)et (BJ) a pour image (JH) ; or (BI) est perpendiculaire à (BJ), donc (IH) est perpendiculaire à (JH).
Exercice 6
ABC est un triangle quelconque. I, J et K sont les milieux respectifs des cotés [BC], [AB] et [AC]. D est le projété orthogonal de A sur la droite (BC). On note (∆) la médiatrice de [JK].
1)
a) Fais la figure.
b) Démontre que (∆) est la médiatrice de [DI].
2) Démontre que mes DJI ̂ = mes DKI ̂ .
Solution :
1) a)
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