A- SITUATION D’APPRENTISSAGE
Dans le cadre des compétitions de l’OISSU, un sponsor a remis un lot de maillots au
Chef d’un établissement. Le professeur d’EPS de la classe de 1ère scientifique a fourni à ce Chef d’établissement les informations suivantes :
Sur les 25 élèves régulièrement inscrits en 1ère scientifique :
15 jouent au Handball ;
10 jouent au Basketball ;
5 pratiquent les deux sports.
Le premier lot de maillots parvenu n’étant pas suffisant pour tous les élèves, le Chef
d’établissement décide de dénombrer les élèves de 1ère scientifique qui ne pratiquent
aucun sport. Il se rend dans la classe afin de procéder au comptage. Malheureusement,
ayant terminé leur cours du jour, la plupart des élèves des élèves sont rentrés chez eux.
Vu l’urgence et dans le souci d’avoir le nombre exact de maillots restants pour cette
classe, il sollicite les élèves de la classe présents. Ceux-ci s’organisent pour répondre à
la préoccupation du Chef d’établissement.
B-RESUME DE COURS
1. ENSEMBLE FINI
1.1 Cardinal d’un ensemble fini
Définition
On appelle cardinal d’un ensemble fini E le nombre d’éléments de E.
On note : Card (E).
Exemple : A= {0 ; 1 ; 2 ; 3}
Card (A) = 4
1.2Réunion et intersection de deux ensembles
Définitions
• Soit A et B deux ensembles.
On appelle réunion de A et B, l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.
On note A ∪ B et on lit : A union B.
• Soit A et B deux ensembles.
On appelle intersection de A et B, l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
On note A ∩ B et on lit : A inter B.
Exemple
On donne A= {3 ; h ; * ; 5} et B= {8 ; * ; 1}
On a alors :A ∪ B = {3; h; ∗ ; 5; 8; 1} et A ∩ B = {∗}
Propriété
Soit A et B deux ensembles finis.
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B).
Exercice de fixation
On considère les ensembles E et F tels que Card(E) = 30, Card(F) = 25 et
Card(E ∩ F) = 15
Détermine Card(E ∪ F)
Solution
Card(E ∪ F) = Card(E) + Card(F) − Card(E ∩ F)
On a : Card(E ∪ F) = 30 + 25 − 15 = 40
1.3Complémentaire d’un ensemble
Définition
Soit E un ensemble et A un sous ensemble de E.
On appelle complémentaire ou partie complémentaire de A dans E,
l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
On note : 
Exemple :
Soit A et E deux ensembles tels que E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} et
A= {0; 2; 4; 6; 8}.
le complémentaire de A dans E est : 
Propriété 1
Soit E un ensemble et A une partie de E. On a :
Exercice de fixation
On donne B et A deux parties d’un ensemble E tel que 
A={2 ; 3 ; 6} et B={t ; 4 ; v ;y}.
Ecris l’ensemble E.
Solution :
Propriété 2
Solution
card(E) = card(A) + card(B) donc card(B) = card(E) − card(A) = 12 − 3 = 9.
1.4Produit cartésien de deux ensembles
Définition
Soit A et B deux ensembles.
On appelle produit cartésien de A par B, l’ensemble des couples (a ; b) tels que a ∈ A et b ∈ B.
Notation : Le produit cartésien de A par B se note : A × B
(et se lit : A croix B).
Exemple
Soit A et B des ensembles telle que A = {1 ; 2 ; 3} et B = {a ; b ; c ; d}
Les éléments du produit cartésien de A×B sont :
(On pourra utiliser un arbre de choix ou un tableau à double entrées)
• Arbre de choix
• Tableau à double entrées
AxB ={ (1 ; a); (1 ; b) ; (1 ; c) ; (1 ; d) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c) ; (2 ; d) ; (3 ; a) ; (3 ; b) ;
(3 ; c) (3 ; d) }.
Remarques
• De la même manière, on définit A × B × C l’ensemble des triplets
(a; b; c) où a ∈ A , b ∈ B et c ∈ C.
• A × A se note A² , A × A × A se note A³.
• Soit n est un entier supérieur ou égal à 2
A × A × … × A = An(A apparaît n fois dans le produit)
Les éléments de An sont n éléments x1 ; x2; … et xn de A totalement ordonnés. On les note (x1 ; x2; … ; xn).
x1 est premier ; x2 est deuxième ;… xn est n-ième.
Lorsque x1 ≠ x2 on a : (x1; x2; … ; xn) ≠ (x2; x1; … ; xn) en particulier : (a; b) ≠ (b; a) ainsi, dans un couple l’ordre des éléments est très important.
Propriété
Pour tous ensembles finis A et B, on a :
Card(A × B) = Card(A) × Card(B).
Exercice de fixation
Soit E et F deux ensembles tels que : card(A) = 5 et card(F) = 8.
Détermine Card(E × F).
Solution
Card(E × F) = 5 × 8 = 40
Conséquence
Pour tout ensemble fini A, pour tout entier naturel p non nul,
Card (Ap) = [Card(A)]p.
Exercice de fixation
On lance au hasard trois fois de suite un dé parfait en notant à chaque lancer le numéro de la face supérieure.
Détermine le nombre de résultats possibles.
Solution
Posons E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Card(E) = 6.
Chaque résultat est un élément de E3.
Soit N le nombre résultats possibles.
N = 6³
= 216
2. P-UPLETS, ARRANGEMENTS, PERMUTATIONS
2.1 Définition
Soit E un ensemble à n éléments et p un nombre entier naturel non nul.
On appelle p-uplet de E tout élément de l’ensemble EP.
Cas particuliers
p = 2 : On parle de couple ;
p = 3 : On parle de triplet ;
p = 4 : On parle de quadruplet.
Exemple
On donne E= {0 ; 5 ; 6}.
(0 ;0 ; 1) ; (0 ; 5 ; 6) sont des 3-uplets ou triplets de l’ensemble E³.
2.1Propriété
Le nombre de p-uplet(s) d’un ensemble à n éléments est égal à nP.
Remarque : Dans les p-uplets, un élément peut apparaitre plusieurs fois (répétition possible) et l’ordre dans lequel les éléments apparaissent est important.
Exercice de fixation
Détermine le nombre de numéros de téléphones de 8 chiffres puis de 10
chiffres qu’on peut former avec les nombres du système décimal.
Solution
Le système décimal étant composé des chiffres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 soit 10 chiffres.
• Pour 8 chiffres : Chaque chiffre pouvant être répété, le nombre de numéros de téléphone de 8 chiffres est un 8-uplet dans 10 soit 10⁸ numéros
• Pour 10 chiffres : Chaque chiffre pouvant être répété, le nombre de numéros de téléphone de 10 chiffres est un 10-uplet dans 10 soit 1010 numéros.
3 Arrangements
3.1 Définition
Soit E un ensemble à n éléments et p un entier naturel tel que : 1 ≤ p ≤ n.
On appelle arrangement de p éléments de E tout p-uplet d’éléments de E deux à
deux distincts.
Exemple :
E = {a; 1; 4; b; 9; c}
(1; a; 4; 9) ; (b; c; 9; 1) ; (9; a; 4; 1) sont trois arrangements de 4 éléments de E.
Par contre (b ; 4 ; b) ; (9; b ;9) sont des triplets qui ne sont pas des arrangements de E.
3.2 Propriété
n et p sont deux entiers naturels tels que 1 ≤ p ≤ n. Le nombre d’arrangements de p éléments dans un ensemble à n éléments est égal à 
NB : Le nombre d’arrangement de p éléments dans un ensemble à n éléments est égal au produit de p nombres entiers naturels consécutifs dont le plus grand est n.
Remarque : Dans les arrangements, un élément ne peut apparaitre qu’au plus une fois (répétition impossible) et l’ordre dans lequel les éléments apparaissent est important.
Exercice de fixation
Solution :
4 Permutation
4.1 Définition
Soit E un ensemble à n éléments. On appelle permutation de E tout arrangement
des n éléments de E.
Exemple
(0 ; 1 ; 6) ; (6 ;0 ;1) ; (0 ;6 ;1) sont des permutations de l’ensemble A = {0 ;1 ;6}.
4.2 Propriétés
Propriété1
Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est 
Exercice de fixation
Détermine le nombre de mots ayant un sens ou non, que l’on peut former à partie
des lettres du nom KENDAL.
Solution
Il s’agit d’une permutation des 6 lettres du nom KENDAL. Le nombre de mot est
donc : 
Notation factorielle
n × (n − 1) × (n − 2) … × 2 × 1 se note n! On lit factorielle n.
n! = n × (n − 1) × (n − 2) … × 2 × 1
Exemple : 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
Propriété2
• Soit n et p deux nombres entiers naturels non nuls tels que : 1≤p ≤ n. On a :
Exercice de fixation
Calcule le nombre de 4 arrangements dans 10.
Solution :
5 COMBINAISONS
5.1Définition
Soit E un ensemble à n éléments et p un nombre entier naturel tels que p ≤ n.
On appelle combinaison de p éléments de E tout sous- ensemble de E ayant p
éléments.
Exemple
Les ensembles {0 ; e ; u}, {v ; e} sont des combinaisons de l’ensemble
A= {0 ;1 ; e ; v ; u}
Remarque
L’ensemble {d ; a ; c} possède les mêmes éléments que l’ensemble {a ; d ; c}.
Ils sont donc égaux.
Par conséquent, contrairement aux listes, l’ordre d’écriture des éléments d’une
combinaison n’a pas d’importance.
Cette absence d’importance de l’ordre est marquée par l’utilisation de l’écriture
avec accolades, écriture réservées aux ensembles.
Par ailleurs, chaque élément ne peut apparaitre qu’au plus une fois
(répétition impossible).
5.2 Propriétés
Propriété 1
Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments, noté
Exercice de fixation
Relie ceux qui sont égaux entre eux.
5.3 Tirages simultanés, tirages successifs sans remise, tirages successifs avec remise
Vocabulaire
• Tirer au moins n éléments, c’est tirer un nombre plus grand ou égal à n. Cet
ensemble a pour complémentaire « Tirer au plus n − 1 »
• Tirer au plus n éléments, c’est tirer un nombre plus petit ou égal à n. Cet ensemble a pour complémentaire « Tirer au moins n + 1 »
5.4 Binôme de Newton
Soit a et b deux nombres réels et n un nombre entier naturel non nul. On a :
Exemples
(a+b)¹ = 1.a + 1.b
(a+b)²= 1.a² +2.ab+1.b²
(3 + b)⁴ = 1 × 3⁴ + 4 × 3³b¹ + 6 × 3²b² + 4 × 3¹b³ + 1 × b⁴
(a − b)⁵ = 1. a⁵ − 5. a⁴b¹ + 10. a³b² − 10. a²b³ + 5. a¹b⁴ −1.b⁵
C- SITUATION D’EVALUATION
Les élèves d’un lycée souhaitent participer à la kermesse organisée par une
société de la place.
Pour gagner des tee-shirts, il faut miser la somme de 20.000F avant de faire le
tirage de deux cartons dans une urne contenant quatre cartons numérotés de 1 à 4.
Le nombre de résultats possibles de chaque tirage correspond au nombre de tee-
shirts gagnés. Les organisateurs de ce jeu proposent alors trois tirages au choix :
• “Tirer simultanément deux cartons de cette urne ” ;
• “Tirer successivement sans remise deux cartons de cette urne” ;
• “Tirer successivement avec remise deux cartons de cette urne”.
Après être informés, les élèves décident de connaitre le tirage le plus avantageux
Mais ne savent pas comment procéder. Il te sollicite.
Elève de première C , utilise tes connaissances mathématiques pour déterminer le
tirage le plus avantageux.
Proposition de réponse
Pour résoudre cet exercice, je vais utiliser les dénombrements.
Je vais déterminer le type la formule appropriée pour chacun des trois tirages.
Je vais calculer le nombre de tee-shirts que propose chaque formule.
Je vais comparer ses différents résultats entre eux afin de trouver le tirage le plus
avantageux.
• “Tirer simultanément deux cartons de cette urne ” est une combinaison de 2
dans 4.
• ‘’Tirer successivement sans remise deux cartons de cette urne ‘’ est un
arrangement de 2 dans 4.
• “Tirer successivement avec remise deux cartons de cette urne” est un 2-
liste.
16>12 et 16>6 alors :
Le tirage successif avec remise de deux cartons de cette urne est le plus avantageux.
D- EXERCICES
Exercice 1
Soit A = {0, 1, 2, 3, 4} et B = {3, 4, 5, 6 }. Compléter par : ∈ ou ∉.
(0, 1) … … ..A x B ; (1, 3)… … … B x A ; (6, 0)… … .. B x A
(3,6) … … …. B x B ; (2, 3) … … .. A x B; (3,4) …….. B x A
Correction de l’exercice 1
(0; 1) ∉ A × B ; (1; 3) ∉ B × A ; (6; 0) ∈ B × A ;
(3; 6) ∈ B × B ; (2; 3) ∈ A × B ; (3; 4) ∈ B × A
Exercice 2
Soit A et B, deux ensembles non-vides. On donne Card (A x B) = 12
Complète le tableau suivant :
Correction de l’exercice 2
Exercice 3
Soit E un ensemble à n éléments et p un nombre entier naturel non nul.
Réponds par vrai (V) ou par faux (F) à chacune des affirmations suivantes :
Correction de l’exercice 3
Exercice 4
Le code secret d’un téléphone portable est composé de 4 chiffres tapés sur un clavier numérique comportant les chiffres 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 et 9.
Détermine le nombre de codes possibles.
Correction de l’exercice 4
Méthode 1
Les chiffres sont en ordre avec la possibilité de répétition d’un même chiffre.
Soit N le nombre cherché.
N est le nombre de quadruplets d’un ensemble à 10 éléments.
D’où, N = 10⁴
= 10 000
Méthode 2
Pour le premier chiffre du code, on a 10 choix possibles;
Pour le 2ème chiffre du code, on a 10 choix possibles;
Pour le 3ème chiffre du code, on a 10 choix possibles;
Pour le 4ème chiffre du code, on a 10 choix possibles.
Soit N le nombre cherché.
N = 10 × 10 × 10 × 10
= 10⁴
= 10 000
Exercice 5
Un parking comprend cinq (5) places disponibles. Trois automobilistes se présentent au
parking et doivent stationner au hasard l’un après l’autre. Chaque véhicule ne peut occuper qu’une seule place.
Détermine le nombre de rangements possibles.
Correction de l’exercice 5
Méthode 1
Il s’agit de prendre 3 pistes parmi 5 sans prendre une même plus d’une fois.
D’où, un rangement des 3 véhicules est un arrangement de 3 parmi 5.
Soit N le nombre cherché.
Méthode 2
Pour le premier véhicule, on a 5 choix possibles ;
Pour le 2ème véhicule, on a 4 choix possibles ;
Pour le 3ème véhicule, on a 3 choix possibles ;
Soit N le nombre cherché.
N = 5 × 4 × 3
= 60
Exercice 6
Dans un jeu de 32 cartes, chaque joueur reçoit 8 cartes.
Détermine le nombre de ‘’main’’ que l’on peut obtenir à partir de 32 cartes.
Une ‘’main’’ est un sous ensemble de huit cartes prises permis 32.
Correction de l’exercice 6
Une ‘’main’’ est un sous ensemble de huit cartes prises permis 32, ici l’ordre n’est pas
important. On a donc affaire à un tirage simultané.
Le nombre de ‘’main’’ possible est donc une combinaison de 8 parmi 32 :
Exercice 7
Une urne contient cinq (5) boules indiscernables au toucher et de couleurs différentes
(noire, blanche, verte, rouge, bleue). On tire simultanément trois boules.
Détermine le nombre de tirage possibles.
Correction de l’exercice 7
On tire simultanément trois boules parmi 5, alors c’est une combinaison de 3 dans 5 :
Exercice 8
On dispose d’un jeu de 32 cartes. On en prend simultanément 8, ce qui constitue une
« main ».
a) Combien y a-t-il de mains différentes ?
Dénombre les mains qui contiennent :
b) Exactement deux as.
c) Aucun as.
d) Au moins un as.
e) Au plus deux as.
f) Exactement deux cœurs et trois piques.
g) Exactement deux cœurs, trois piques et un trèfle.
Correction de l’exercice 8
Le modèle mathématique utilisé est la combinaison
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