A. – SITUATION D’APPRENTISSAGE
B. – RESUME DE COURS
I. Positions relatives de droites et de plans de l’espace
1. Positions relatives de deux droites,
L’espace (E) est un ensemble infini de points admettant des sous-ensembles infinis appelés droites et plans qui satisfont certaines règles suivantes :
a. Règles de base
Règle 1 : Par deux points distincts A et B, il passe une unique droite notée (AB).
Règle 2 : Par trois points non alignés A, B et C de (E ), il passe un unique plan. Ce plan est noté (ABC).
Règle 3 : Si A et B sont deux points d’un plan P, tous les points de la droite (AB) appartiennent au plan P.
Règle 4 : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.
Règle 5 : les théorèmes de géométrie plane sont vrais dans tout plan de l’espace.
b. Vocabulaire
• Lorsque des points appartiennent à un même plan on dit qu’ils sont coplanaires.
• Lorsque des droites sont contenues dans un même plan on dit qu’elles sont coplanaires.
• Quatre points ne sont pas coplanaires lorsque l’un n’appartient pas au plan défini par les trois autres.
• Un tétraèdre est un solide qui a quatre sommets non coplanaires.
Propriété
Deux droites non coplanaires sont disjointes.
Exercice de fixation
ABCDEFGH est un cube.
Montre que les droites (GF) et (CD) sont disjointes.
Solution
G,F et C sont trois points non alignés donc (GFC) est un plan. Or D ∉ (GFC) alors les quatre points G,F ,C et D sont non coplanaires.
Si les droites (GF) et (CD) étaient coplanaires alors les points G , F,C et D seraient coplanaires. Ce qui est absurde.
Donc (GF) et (CD) sont non coplanaires d’où elles sont disjointes.
Résultats à retenir
Définitions
1) Deux droites sont dites parallèles lorsqu’elles sont confondues ou bien lorsqu’elles sont coplanaires et disjointes.
2) Deux droites sont dites sécantes lorsque leur intersection est réduite à un point
Exemple
ABCDEFGH est un cube
P ∉ (HE).
-Les droites (HE) et (HP) sont confondues donc elles sont
parallèles.
-Les droites (EP) et (GF) sont coplanaires et disjointes donc elles
sont parallèles.
-B est le point d’intersection des droites (CB) et (FB) alors elles
sont sécantes.
Remarque
Deux droites dites disjointes ne sont pas nécessairement parallèles, elles peuvent être non coplanaires.
c. Détermination d’un plan
Un plan est défini :
• Soit par trois points non alignés
• Soit par une droite et un point n’appartenant pas à cette droite
• Soit par deux droites sécantes
• Soit par deux droites strictement parallèles
Exercice de fixation
ABCDEFGH est un cube , I est un point de la demi-droite [BF).
Justifie que les droites (BC) et (BI) sont contenues dans le plan (FGC).
Réponse attendue
• B et C sont des points du plan (FGC) alors (BC)Ì (FGC).
On a BÎ (FGC) et FÎ (FGC) alors (BF)Ì (FGC) or I ∈ (BF) d’où I ∈ (FGC).
Par conséquent (BI) ⊂ (FGC)
2. Positions relatives d’une droite et d’un plan
Propriété
Étant donné une droite (D) et un plan (P), les différentes positions relatives sont :
1) (D) et (P) sont disjoints.
2) (D) est incluse dans (P).
3) L’intersection de (D) et de (P) est réduite à un point.
Exercice de fixation
ABCDEFGH est un cube.
I, J, K sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [EF] et [FG].
Étudie la position relative :
1) de la droite (IK) et du plan (BCF)
2) de la droite (AI) et du plan (FGC)
3) de la droite (JK) et au plan (EFG)
Réponse attendue
1. K est un point commun à (IK) et (BCF).
I ∈ (IK) et I ∉ (BCF)
Alors La droite (IK) est sécante au plan (BCF).
2. B est un point commun à (AI) et (FGC).
A ∈(AI) et A ∉ (FGC).
Alors la droite (AI) est sécante au plan (FGC.
3. J ∈ (EFG) et K ∈ (EFG) donc la droite (JK) est incluse dans le plan (EFG).
Définitions
1) On dit qu’une droite (D) est parallèle à un plan (P) lorsque (D) est incluse dans (P) ou lorsque (D) et (P) sont disjoints.
2) On dit que le plan (P) est sécant à la droite (D) au point I lorsque l’intersection de (D) et de (P) est réduite au point I
Exemple : On considère le cube ci-contre
– La droite ( AE) est parallèle au plan ( GDC) car
(AE) et (GDC) sont disjoints .
– La droite ( BH ) est sécante au plan ( ADE ) en H car l’intersection de (BH) et de (ADE) est réduite au point H
3. Positions relatives de deux plans
Propriété
Étant donné deux plans (P) et (L), les différentes positions relatives sont :
1) (P) et (L) sont disjoints.
2) (P) et (L) sont confondus.
3) L’intersection de (P) et (L) est une droite.
Exercice de fixation
ABCDEFGH est un cube.
Etudie la position relative des plans (EFG) et (EAD
Réponse attendue
E est un point commun aux plans (EFG) et (EAD).
H est un point commun aux plans (EFG) et (EAD).
De plus F∈ (EFG) et F∉ (EAD).
Par conséquent les plans (EFG) et (EAD) sont sécants suivant la droite (EH).
Définitions
1) Deux plans confondus ou disjoints sont dits parallèles.
2) Deux plans non parallèles sont dits sécants, leur intersection est alors une droite.
Exemple : On considère le cube ABCDEFGH ci-contre.
1) Les plans (AED) et (GFC) sont disjoints donc ils sont parallèles.
2) Les plans (IJK) et (EFG) sont sécants en ( JK).
4. Section plane
Définition :
La section d’un solide par un plan correspond à la « trace » laissée par ce plan sur le solide, qui est formée par l’ensemble des points communs au solide et au plan.
Méthode :
La construction de la section d’un solide par un plan se fait en construisant l’intersection de ce plan avec les différentes faces du solide.
Exemple :
SMNPQ est une pyramide des sommet S.
I∈ [SQ]; J ∈ [SP] ; K ∈ [NP]; L ∈ [MQ].
La section plane du plan ( IJK)
avec la pyramide SMNPQ est IJKL.
II. Etude du parallélisme
1. Parallélisme de deux droites
Propriété 1 : par un point donné de l’espace, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.
Propriété 2 : Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’une coupe l’autre.
Propriété 3 : Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles entre elles.
Conséquence
Deux droites coplanaires respectivement parallèles à deux droites non parallèles sont sécantes.
Exercice de fixation
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un tétraèdre. I, J, K et L
sont les milieux respectifs des segments[AB] ,[BC] , [CD] et [AD] .
1. Montre que les droites (IL) et (JK) sont parallèles.
2. Soit (P) un plan sécant à (IL).
Justifie que (P) est sécant à (JK).
Réponse attendue
1) BDC est un triangle, le point J est milieu de [BC] et le point K est milieu de [DC], d’après la propriété de la droite des milieux (JK)// (BD).
ABD est un triangle, le point I est milieu de [AB] et le point L est milieu de [AD], d’après la propriété des droites des milieux (IL)// (BD).
On a donc (JK)// (BD) et (IL)// (BD) d’où (IL)// (JK).
2) (P) est un plan sécant à (IL) et (IL)// (JK) Donc (P) est sécant à (JK).
2. Parallélisme d’une droite et d’un plan
Propriété 1
Une droite (D) est parallèle à un plan (P) si et seulement s’il existe dans (P) une droite parallèle à (D).
Propriété 2
Si une droite (D) est parallèle à un plan (P), alors toute droite parallèle à (D) est parallèle à (P).
Propriété 3
Une droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à leur droite d’intersection.
Exercice de fixation
ABCDE est une pyramide. F est le milieu de [EA] et G est le milieu de [EC]. Démontre que la droite (FG) et le plan (ABC) sont parallèles.
1) Justifie que (FG)// (AC) .
2) Déduis-en que (FG)// (ABC).
Réponse attendue
1) AEC est un triangle, le point F est milieu de [AE] et le point G est milieu de [EC].
D ’après la propriété de la droite des milieux (FG)// (AC).
2) On a (FG)// (AC) et (AC) ⊂ (ABC) d’où (FG)// (ABC).
3. Parallélisme de deux plans
Propriété 1
Deux plans sont parallèles si et seulement si l’un contient deux droites parallèles à l’autre et sécantes entre elles.
Propriété 2
Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles entre eux.
Propriété 3
Par un point donné de l’espace, il passe un et un seul plan parallèle à un plan donné.
Propriété 4
Si deux plans sont parallèles :
1. Tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et les droites d’intersection sont parallèles;
2. Toute droite parallèle à l’un est parallèle à l’autre;
3. Toute droite sécante à l’un est sécante à l’autre.
Exemple :
On considère le cube ABCDEFGH ci-contre.
1) Les droites ( DB) et ( AC) sont sécantes. (DB)// (EFG) et (AC) // ( EFG) donc les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles.
2) Les plans (EFG ) et ( ABC) sont parallèles. Le plan (AGH) est sécant à ( EFG) en (HG), donc il est sécante à ( ABC) en (AB). De plus (AB) // (HG).
Exercice de fixation
On considère le tétraèdre ABCD et les points E, F et G appartenant respectivement aux arêtes [DA], [DC] et [DB] tels que les droites (EF) et (AB) d’une part et les droites (FG) et (BC) d’autre part soient parallèles.
Justifie que les plans (EFG) et (ABC) sont parallèles.
Réponse attendue
(EF)// (AB) or (AB ABC )Ì ( ) d’où (EF)// (ABC) et (FG)// (BC) or (BC ABC )Ì ( )
d’où (FG)// (ABC). Les droites (EF) et FG), sécantes en F, sont parallèles au plan (ABC) alors le plan (EFG) est parallèle au plan (ABC).
QUELQUELS METHODES pour Démontrer
III- SITUATION COMPLEXE
Solution :
Pour résoudre ce problème nous allons utiliser la leçon Droites et Plans dans l’espace, notamment la position relative d’une droite et d’un plan.
La droite ( AI ) coupe le segment [BC] en K. K est donc le milieu de [BC]
La droite (AJ ) coupe le segment [DC] en R. R est donc le milieu de [DC]
Dans le triangle DBC, La Droite ( KR) est parallèle ( DB). Comme (KR)⊂( AIJ ), on a donc la droite (BD ) est parallèle au plan ( AIJ).
Par conséquent les élèves qui affirment que la droite (BD) est parallèle au plan (AIJ) ont raison.
IV-EXERCICES
Exercices d’application
Exercice 1
ABCD est un tétraèdre, I, J, K sont les milieux des arêtes [AB], [AC], [AD].
Écris le numéro suivi de la lettre de la bonne réponse.
1. Les points A, B, D, J sont :
a. Coplanaires ; b. alignés ; c. non coplanaires
2. La droite (BC) est parallèle à la droite :
a. (IK) ; b. (AD) ; c. (IJ)
3. Les droites (BK) et (DI) sont :
a. non coplanaires ; b. Parallèles ; c. sécantes
4. Sont coplanaires, les droites :
a. (AB) et (CD) ; b. (IK) et (AC) ; c.(IK) et (BD)
5. La droite (IK) est parallèle au plan :
a. (ABC); b. (BCD); c. (ACD)
6. Les plans (ACD) et (IJK) sont sécants suivant
a. (AC) b. (JK ) c. (IK)
Solution
1.c ; 2.c ; 3.c ; 4.c ; 5.b ; 6.b
Exercice 2
ABCDEFGH est un cube, I , J et K sont les milieux de [AB], [GH] et [DC]
1. (∆) est une droite parallèle à la droite (BG), (∆) est donc parallèle au plan :
a. (ADH) ; b. (ABC) ; c. (CDH)
2. Le plan (AEJ) coupe le plan (CDH) suivant une droite parallèle à :
a. (BA) ; b. (IK) ; c. (AE)
3. (∆) est une droite parallèle au plan (ABD) et au plan (HCG) alors :
a. (ABC) est parallèle à (HCG) ; b. (∆) est parallèle à (DC) ; c. (∆) est parallèle à (AD)
Solution :
1.a : 2.a 3. b
Exercice 3
Sur le parallélépipède rectangle ABCDEFGH ci-contre.
Détermine les positions relative de :
1° La droite (HI) et le plan (ABC).
2° La droite (BG) et le plan (EAD).
3° La droite (CG) et le plan (DGH).
Solution :
1. La droite (HI) et le plan (ABC) sont sécants.
2. La droite (BG) et le plan (EAD) sont parallèles.
3. La droite (CG) est incluse dans le plan (DGH).
Exercice4
Sur le parallélépipède rectangle ABCDEFGH ci-contre :
1° Complète les phrases en donnant les positions relatives des plans :
Les plans (ABC) et (FGD) sont ……………………………………….
Les plans (ABC) et (EFG) sont ……………………………………….
Les plans (HFB) et (EGC) sont…………………………………………
Solution :
Les plans (ABC) et (FGD) sont …….sécants……
Les plans (ABC) et (EFG) sont ………..parallèles……………………….
Les plans (HFB) et (EGC) sont…………sécants………………………………
Exercice 5: Déterminer la position relative des droites pour les solides dessinés en perspective.
Exercices de renforcement
❖ Comment démontrer que deux droites sont coplanaires ou non ?
Exercice 6
ABCDEFGH est un cube tel que I∈ [GC] ; J ∈ [HD] .
1. Les droites (AB) et (EF) sont-elles coplanaires ? Justifie ta réponse.
2. Justifie que (IJ) et (GH) sont coplanaires.
3. Construis le point d’intersection K de (IJ) et (GH).
4. Justifie que les droites (IJ) et (AE) ne sont pas coplanaires.
Solution :
1. Les droites (AB) et (EF) sont coplanaires car elles sont parallèles.
2. Les droites (IJ) et (GH) sont coplanaires car elles sont incluses dans le plan (GCD).
Le point K est l’intersection de (IJ) et (GH)
4. Supposons que (IJ) et (AE) sont coplanaires. Alors les points I , J , A et E seraient coplanaires.
Ce qui est contradictoire car I∉ (JAE) .
Donc (IJ) et (AE) sont non coplanaires.
❖ Comment démontrer qu’une droite est sécante à un plan ?
Exercice 7
Sur la figure ci-contre :
– A∈(P) ; B∈(P) ; O∉(P) ; C∈[AO] ; D∈[OB]
– Dans le plan (OAB), les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
1. Démontre que la droite (CD) est sécante au plan (P) en un point I
2. Construis le point d’intersection I de (CD) avec le plan (P)
Solution :
1. (AB) et (CD) sont coplanaires et ne sont pas parallèles ; donc elles sont sécantes. Or (AB) est contenue dans le plan ( P), donc la droite (CD) est sécante au plan (P) en un point I qui est l’intersection des droites (AB) et (CD).
2. Construction du point d’intersection I de (CD) avec le plan (P)
Exercices d’approfondissement.
❖Comment démontrer qu’une droite est parallèle à un plan ?
Exercice 13
SABCD est une pyramide régulière. I le milieu du segment [SA] et J le
milieu du segment [SB].
Démontre que la droite (IJ) est parallèle au plan (SCD).
Solution :
Dans le triangle SAB ,
❖Comment démontrer que deux plans sont parallèles ?
Exercice 14
SABCD est une pyramide régulière. I le milieu du segment [SA]
et J le milieu du segment [SB], K le milieu de [BC].
Démontre que le plan (IJK) est parallèle au plan (SCD).
Solution :
On démontre que ( IJ) // (DC) et (JK) // (SC ) , or (DC) et ( SC) sont sécantes donc le plan (IJK) est parallèle au plan (SCD).
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