A. SITUATION D’APPRENTISSAGE
Pour embellir la devanture de leur classe, des élèves d’une classe de 2nd C décident de planter des roses. Les filles de la classe proposent la figure ci-dessous où (C) est un cercle centre O et de rayon réel 3m et elles souhaitent que l’aire du triangle ABC soit réservée pour les 40 pieds de roses blanches qu’elles ont achetées. Le chef de classe soutient qu’avec 5 pieds au mètre carré il n’y a pas suffisamment de pieds de roses blanches. Les filles ne sont pas d’accord. Alors tous les élèves de la classe décident de faire des calculs pour en avoir le cœur net. On donne AC = 5 m.
B. CONTENU DE LA LECON
I ANGLES INSCRITS
1- Angle inscrit défini par une corde et un point.
a- Présentation
Deux points distincts A et B d’un cercle définissent deux arcs de cercles :
– Celui dont la longueur est plus petite, noté AB̂
– Celui dont la longueur est plus grande, noté AB̆ .
Remarque
Lorsque la corde [AB] est un diamètre, alors les deux arcs de cercles sont des demi-cercles et l’angle au centre AOB ̂ est un angle plat qui intercepte l’un ou l’autre des deux demi-cercles.
Exercice de fixation
Sur la figure ci-dessous, O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC tel que mesBOC ̂= 138°.
Calcule mesBAC ̂ et mes BMC ̂
Réponse proposée
Calculons mesBAC ̂ et mesBMC ̂ .
Dans le cercle de centre O, BAC ̂ est un angle aigu inscrit associé à l’angle au centre BOC ̂
Donc mesBAC ̂ = ½ mesBOC ̂ = 69°
BMC ̂ est un angle obtus inscrit qui intercepte l’arc BC̆
Donc mesBMC ̂= 180° − ½ mesBOC ̂
mesBMC ̂ = 180° − 69° = 111°
2. Angle inscrit défini par une corde et une demi-tangente.
a- Présentation
(C) est un cercle de centre O
(TT’) est la tangente au cercle (C) en A.
• TAB ̂ est un angle inscrit qui intercepte l’arc AB̂ .
• T̂′AB est un angle inscrit qui intercepte l’arc AB̆.
b- Propriétés
Soit [AB] une corde d’un cercle (C) de centre O qui n’est pas un diamètre, [AT) la demi-tangente en A à (C) contenue dans le demi-plan de frontière (AB) ne contenant pas le point O, [AT’) l’autre demi-tangente en A. On a :
• mesTAB ̂ = ½ mesAOB ̂.
• mesT̂′AB = 180° − ½ mesAOB
Exercice de fixation
Sur la figure ci-contre, (TT’) est la tangente en A au cercle (C) de centre O.
On donne mesAOB ̂ = 108°.
Calcule mesBAT ̂et mesBAT ̂′.
Réponse proposée
Je calcule mesBAT ̂et mesBAT ̂′.
[AT) est la demi-tangente en A à (C) contenu dans le demi plan de frontière (AB) ne contenant pas le centre O du cercle, donc mesTAB ̂ = ½mesAOB ̂.
Alors mesBAT ̂ = ½× 108° = 54°.
[AT’) est l’autre demi-tangente en A, donc mesT̂′AB = 180° − ½mesAOB ̂.
Alors mesBAT ̂′ = 180° − 54° = 126°.
c- Conséquences
Propriétés
P1 : Des angles inscrits dans un cercle qui interceptent le même arc
ont même mesure.
P2 : Des angles inscrits dans un cercle qui interceptent deux arcs
de même longueur ont même mesure.
P3 : La bissectrice d’un angle inscrit dans un cercle partage l’arc
intercepté en deux arcs de même longueur.
P4 : Si M ∈ AB̆ et N ∈ AB, alors les angles inscrits AMB ̂ et ANB ̂
sont supplémentaires.
mesAMB ̂ + mesANB ̂ = 180°
Exercice de fixation : On considère la figure ci-contre où mesAMB ̂ = 37°
Détermine mesAMB ̂ ; mesÂM′B et mesTAB ̂.
Solution
Les angles inscrits AMB ̂ , AM̂′B et TAB ̂ interceptent le même arc AB̂ donc : mesAMB ̂ =
mesÂM′B = mesTAB ̂ = 37°
II - LIEU GEOMETRIQUE DES POINTS M TELS QUE : mesAMB ̂ = α°.
1. Détermination de l’ensemble des points M tels que : mesAMB ̂ = α°
Propriété
Soit A et B deux points distincts, θ un réel tel que 0 ˂ θ ˂ 180°.
Le lieu géométrique des points M tels que mes AMB ̂ = θ ° est la réunion de deux arcs de cercle symétriques par rapport à (AB).
2. Construction de l’ensemble des points M tels que mesAMB ̂ = θ°
Déterminer le lieu géométrique des points M tels que mesAMB ̂ = θ°, avec 0 < θ < 180°, revient à construire deux arcs de cercle symétriques par rapport à (AB) appelés arcs capables d’un angle de θ°.
Programme de construction
– Je trace un segment [AB] ;
– Je trace une demi-droite [AT) tel que mes TAB ̂ = θ°;
– Je construis le point O, intersection de la perpendiculaire à la droite (AT) en A et de la
médiatrice du segment [AB] ;
– Je construis l’arc de cercle de centre O et de rayon OA situé dans le demi-plan de frontière (AB) ne contenant pas le point T ;
– Je construis le symétrique de cet arc de cercle par rapport à (AB).
L’ensemble cherché est la réunion des deux arcs de cercles symétriques par rapport à (AB) privés des extrémités A et B.
Remarques
Soit M un point distinct de A et de B.
– L’ensemble des points M tels que mesAMB ̂ = 0° est la droite (AB) privé du segment [AB].
– L’ensemble des points M tels que mesAMB ̂ = 180° est le segment [AB] privé des points A et B.
– L’ensemble des points M tels que mesAMB ̂ = 90° est le cercle de diamètre [AB] privé des points A et B.
Exercice de fixation
On donne AB = 4 cm. Construis l’ensemble des points M tels que mesAMB ̂ = 30°.
Proposition de solution :
Construction de l’ensemble des points M tels que mesAMB ̂ = 30°.
• On construit le segment [AB] tel que AB = 4
• On construit un point T tel que mesTAB ̂ = 30°.
• On trace la perpendiculaire à la droite (AT) passant par A et la médiatrice du segment [AB].
Ces deux droites se coupent en O.
• On construit l’arc de cercle de centre O et de rayon OA situé dans le demi-plan de frontière (AB) ne contenant pas le point T.
• On construit le symétrique de cet arc de cercle par rapport à (AB).
L’ensemble cherché est la réunion des deux arcs de cercles symétriques par rapport à (AB) privés des extrémités A et B.
III- RELATIONS METRIQUES DANS UN TRIANGLE
1. Aire d’un triangle
Propriété
Exercice de fixation
Pour la figure ci-contre, on donne : AB = 5 cm, BC = 6 cm
et mesABC ̂ = 30°. Calcule l’aire A du triangle ABC.
Solution
Je calcule l’aire du triangle ABC.
A =½× AB × BC × sinABC ̂.
A =½× 5 × 6 × sin30° = 7,5 cm2
.
2- Théorème des sinus
Propriété
Exercice de fixation
C. SITUATION COMPLEXE
Pour embellir la devanture de leur classe, des élèves d’une classe de 2nd C décident de planter des roses. Les filles de la classe proposent la figure ci-dessous où (C) est un cercle centre O et elles souhaitent que l’aire du triangle ABC soit réservée pour les 40 pieds de roses blanches qu’elles ont achetées. Le chef de classe soutient qu’avec 5 pieds au mètre carré il n’y a pas suffisamment de pieds de roses blanches. Les filles ne sont pas d’accord. Avec une production argumentée, tranche cette discussion. On donne AC = 5 m.
Solution :
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la leçon angles inscrits.
Pour cela, nous calculer :
– la mesure de l’angle BAC ̂
– la longueur BC
– l’aire du triangle ABC
Déterminons le nombre de pieds de roses blanches que peut contenir le triangle ABC.
1) Déterminons les mesures des angles BAC ̂ , ABC ̂ et BCA ̂
– Les angles BAC ̂ et BMC ̂ sont supplémentaires
donc mesBAĈ+ mesBMC ̂ = 180° ⇔ mesBAC ̂ = 180° − 100° = 80°
– Les angles ABC ̂ et ACT ̂sont des angles inscrits qui interceptent le même arc AĈ donc
mesACT ̂ = mesABC ̂ = 60°
– Dans le triangle ABC, on a : mesBAC ̂ + mesBCA ̂+ mesCBA ̂ = 180°
Donc mesBCA ̂ = 180° − (60° + 80°) = 40°
2- Déterminons la longueur BC
D’après le théorème des sinus on a :
3- L’aire du triangle ABC est :
Le nombre de pieds correspondant à 9,12 m2 est : 5 × 9,12 = 45,6 pieds de rose.
On a : 40 < 45,6. À raison de 5 pieds par mètre carré, il faut environ 46 pieds de roses
blanches. Le chef de classe a donc raison.
D. EXERCICES
Exercices de fixation
Exercice 1
Pour chaque énoncé, écris V s’il est vrai ou F s’il est faux. Aucune
justification n’est demandée.
Solution :
1.F ; 2. V ; 3. F
Exercice 2
Pour chaque ligne du tableau une seule des réponses proposées est juste.
Écris le numéro de la ligne suivi de la lettre correspondant à la bonne réponse.
Solution :
1. A ; 2.B ; 3.B
Exercice 3
Considère la figure ci-contre avec mesCOA ̂ = 86°.
Calcule mesABC ̂, mesCOB ̂ et mesBAC
Solution
– Calcul de mesABC ̂
mesABC ̂ =½mesCOA ̂ = 43° car ABC ̂est un angle inscrit et COA ̂ son angle au centre associé.
– Calcul de mesCOB ̂
Les angles COB ̂ et COA ̂ sont supplémentaires. Donc :
mesCOB ̂ = 180° − mesCOA ̂= 180° – 43° = 137°
– Calcul de mesBAC ̂
BAC ̂est un angle inscrit et COB ̂ son angle au centre associé.
mesBAC ̂ =½mesCOB ̂ = 68,5°
Exercice de renforcement
Exercice 4
[PQ] est un segment de longueur 4 cm.
Construis dans chacun des cas ci-dessous, l’ensemble des points M tels que :
a/ mes PMQ ̂ = 50°. b/ mes PMQ ̂ = 140°.
SOLUTION
a/ Construction de l’ensemble des points M tels que mesPMQ ̂ = 50°.
Programme de construction
• On construit le segment [PQ] tel que PQ = 4
• On construit un point T tel que mesTPQ ̂ = 50°.
• On trace la perpendiculaire à la droite (PT) passant par P et la médiatrice du segment [PQ]. Ces deux droites se coupent en O.
• On construit l’arc de cercle de centre O et de rayon OP situé dans le demi-plan de frontière (PQ) ne contenant pas le point T.
• On construit le symétrique de cet arc de cercle par rapport à (PQ).
L’ensemble cherché est la réunion des deux arcs de cercles symétriques par rapport à (PQ) privés des extrémités P et Q.
b/ Construction de l’ensemble des points M tels que mesPMQ ̂ = 140°.
Le programme de construction est identique à la précédente sauf que le point T est construit tel que mesTPQ ̂ = 140°.
Exercice 5
Sur la figure ci-contre, [IJ] et [KL] sont des diamètres
d’un même cercle de centre O.
N est un point de IL̂ et M un point de KJ.
Démontre que mesKMI ̂ = mesJNL.
Solution :
Démontrons que mesKMI ̂ = mesJNL ̂
L’angle inscrit KMI ̂ et l’angle au centre KOI ̂ sont associés donc mesKMI ̂ =½mesKOI ̂ .
L’angle inscrit JNL ̂ et l’angle au centre JOL ̂ sont associés donc mesJNL ̂ =½ mesJOL ̂ ,
or les angles KOI ̂ et JOL ̂ sont opposés par le sommet donc mesKOI ̂ = mesJOL ̂
ainsi mesKMI ̂ = mesJNL ̂ .
Exercice 6
Soit [AB] une corde d’un cercle (C) de centre O qui n’est pas un diamètre, [AT) la
demi-tangente en A à (C) contenue dans le demi-plan de frontière (AB) ne contenant
pas le point O, [AT’) l’autre demi-tangente en A.
1/ a- Exprime mes OAB ̂ en fonction de meŝAOB.
b- Déduis-en mes TAB ̂.
2/ Détermine l’expression mes T̂’AB.
Solution :
1) A- Le triangle OAB est isocèle O donc : 2mesOAB ̂ + meŝAOB. = 180°
mesOAB ̂ = 90° −½meŝAOB.
2) Les angles OAB ̂ et TAB ̂ sont complémentaires donc
meŝOAB = 90° − mesTAB ̂ d’où mesTAB ̂ =½meŝAOB
3) Les angles TAB ̂ et T̂′AB sont supplémentaires donc
mesT̂′AB = 180° − mesTAB ̂ = 180° −½meŝAOB
Exercice 7
L’unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle tel que : BC = 25, AC = 36 et mesB̂ = 72°.
1/ Démontre que mes = 41,30°
2/ Justifie que AB = 34,77cm
3/ Détermine le rayon du cercle circonscrit à ce triangle.
4/ Calcule l’aire de ce triangle.
Solution :
1/ Démontrons que mes = 41,30°
4/ Calculons l’aire du triangle.
Exercice d’approfondissement
Exercice 8
ABC est un triangle de périmètre P et R le rayon de son cercle circonscrit.
1/ Écris AB, BC et AC en fonction de R.
2/ Justifie que sin + sinB̂ + sinĈ =P⁄2R.
Exercice 9 : L’unité est le centimètre.
EFG est un triangle tel que EF =√2 , mesEFG ̂ = 60° et mesEGF ̂ = 45°.
1) Calculer la longueur des côtés [EG] et [FG].
2) Calculer l’aire du triangle EFG
3) Calculer le rayon R du cercle circonscrit au triangle EFG
Solution :
Exercice 10
EFG est un triangle tel que : FG = 5cm, mes EGF ̂ = 40°, mes GFE ̂ = 50°.
1/ Construis le triangle EFG.
2/ Démontre que le triangle EFG est rectangle en E.
3/ Construis le cercle circonscrit au triangle EFG. Détermine son rayon.
4/ Calcule l’aire du triangle EFG.
Solution
1. Construction du triangle EFG
2. Démontrons que le triangle EFG est rectangle en E.
mesÊ = 180° − (mesF̂ + mesĜ) = 180° − (40° + 50°) = 90°
Donc le triangle EFG est rectangle en E.
3/ Construction du cercle circonscrit au triangle EFG et Déterminons son rayon.
Comme le triangle EFG est rectangle en E, le milieu du segment [FG] est le centre circonscrit à ce triangle.
Le rayon est : R = FG⁄2 = 2,5 cm
4/ Calculons l’aire du triangle EFG.
Calculons d’abord EF
D’après le théorème des sinus, on a :
FE⁄sinĜ= 2R ⟹ EF = 3,21 cm
Donc pour l’aire, on a :
A =½× EF × FG × sinF̂ =½× 3,21 × 5 × sin50° = 6,15 cm2
.
Exercice 11
On considère la figure codée ci-contre où (C) est le cercle de centre O et de rayon [OA]. Les droites (EB) et (EC) sont des tangentes à (C) respectivement en B et en C.
1) Démontre que le triangle OAB est équilatéral.
2) Déduis-en la mesure de l’angle BOC ̂
3) Déduis-en que le triangle EBC est équilatéral.
4) On donne mesPKC ̂ = 85° .
Démontre que mesPBQ ̂= 35°
Solution
1) Démontrons que le triangle OAB est équilatéral.
Les segments [OA] et [OB] sont deux rayons du cercle. Donc OA = OB.
De plus la droite (BC) est la médiatrice du segment [OA]. Donc BO = BA.
En définitive, on a : OA = OB = AB. Par conséquent le triangle OAB est équilatéral.
2) Déduisons la mesure de l’angle BOC ̂
Le symétrique de l’angle BOA ̂par rapport à la droite (OA) est l’angle AOC ̂.
Donc mesBOA ̂= mesAOC ̂
mesBOC ̂= mesBOA ̂+ mesAOC ̂ = 60° + 60° = 120°.
3) Déduisons que le triangle EBC est équilatéral.
D’une part, l’angle inscrit EBC ̂ et l’angle au centre BOC ̂sont associés, donc mesEBC ̂ = 60°.
D’autre part, l’angle inscrit ECB̂ et l’angle au centre BOC ̂sont associés, donc mesECB̂ = 60°.
Il est alors évident que mesCEB̂ = 60°. Donc le triangle EBC est équilatéral.
4) Démontre que mesPBQ ̂= 35°
Les angles PKC ̂ est QKB ̂sont opposés par le sommet. Donc mesPKC ̂ = mesQKB ̂= 85°.
Dans le cercle (C), l’angle inscrit BQC ̂et l’angle au centre BOC ̂sont associés, donc
mesBQC ̂= 60°. Et comme BQC ̂= BQK ̂ alors mesBQK ̂ = mesBQC ̂= 60°
Finalement, dans le triangle QKB, on a : mesPBQ ̂= 180° − (mesBQK ̂+ mesQKB ̂)
Ainsi : mesPBQ ̂= 180° − (60° + 85°) = 35°
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